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第一篇 内容概述、归纳与解题方法综述 1

第一章 函数与极限 1

○、预备知识 1

（一）集合 1

1.集合的概念及运算 1

2.数轴·区间·邻域 2

（二）映射 4

1.映射的概念 4

2.逆映射 4

3.复合映射 4

（三）几个常用的代数公式 5

1.实数x的绝对值 5

2.平均值不等式 5

3.几个常用等式（公式） 5

4.排列组合知识 5

（四）三角函数公式与反三角函数 6

1.常用的三角公式 6

2.反三角函数 7

【习题1.0】 10

一、函数 11

（一）内容概述与归纳 11

1.函数的概念 11

2.函数的常见几何特性 12

3.反函数和复合函数 13

4.初等函数 14

（二）解题方法与典型、综合例题 15

1.函数的定义域求解的常用依据和注意事项 15

2.典型例题 16

【习题1.1】 18

二、数列的极限 19

（一）内容概述与归纳 19

1.数列极限的概念与性质 19

2.数列极限判定准则和柯西收敛原理 20

3.数列的子列 21

4.几个重要的和常用的已知极限 21

5.无穷大的概念 22

（二）解题方法与典型、综合例题 23

1.先恒等变换再求极限 23

2.先证明极限存在，后求极限或论证 23

3.缩放技巧在夹逼准则和用ε-N等定义论证极限中的应用 23

4.两类和式极限的运算 24

【习题1.2】 26

三、函数的极限 26

（一）内容概述与归纳 26

1.自变量的六种变化趋势 26

2.函数极限的概念 26

3.函数极限的存在条件、性质和运算 29

4.夹逼准则和两个重要极限 32

（二）解题方法与典型、综合例题 32

1.函数极限未定型引入和求函数极限的两个注意事项 32

2.极限计算的几种技巧 32

3.两类函数的极限计算 34

【习题1.3】 35

四、无穷小量阶的比较 35

（一）内容概述与归纳 35

1.无穷小与无穷大的基本概念及其关系 35

2.无穷小的比较·等价无穷小量 36

3.常用等价无穷小量 37

4.无穷小量的性质 37

（二）解题方法与典型、综合例题 37

1.解题方法综述 37

2.典型、综合例题 39

【习题1.4】 41

五、函数的连续性 41

（一）内容概述与归纳 41

1.函数连续的基本概念 41

2.连续函数的运算法则 41

3.间断点的概念和分类 42

4.闭区间上连续函数的性质 42

（二）解题方法与典型、综合例题 43

1.求函数连续点处的极限 43

2.讨论分段函数在分段点处的连续性 44

3.讨论有理函数的间断点 44

4.证明方程、代数式之根的存在性 44

【习题1.5】 45

第二章 导数与微分 46

一、导数的概念 46

（一）内容概述与归纳 46

1.导数的定义及其几何意义 46

2.函数的可导性与连续性的关系 47

3.导函数 48

4.导数为∞的特别注解 49

（二）解题方法与典型、综合例题 49

1.用导数的定义求导数 49

2.导数存在性的证明及应用 50

3.与抽象函数可导性相关的极限 51

4.利用可导性求解分段函数之未知数的方法 51

【习题2.1】 52

二、函数的求导法则 53

（一）内容概述与归纳 53

1.函数的和、差、积、商的求导法则 53

2.反函数的求导法则 54

3.基本导数公式 54

4.复合函数的求导法则 54

（二）典型、综合例题 55

【习题2.2】 57

三、高阶导数 58

（一）内容概述与归纳 58

1.高阶导数基本概念 58

2.函数和差、积的n阶导数 58

（二）典型、综合例题 59

【习题2.3】 61

四、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 62

（一）内容概述与归纳 62

1.隐函数的导数 62

2.由参数方程所确定的函数的导数 62

（二）解题方法与典型、综合例题 63

1.隐函数求导例题 63

2.对数求导法 64

3.求解导数的综合例题 65

【习题2.4】 66

五、微分 67

（一）内容概述与归纳 67

1.微分的概念 67

2.可微与可导的关系 68

3.微分公式与微分运算法则 68

4.一阶微分形式的不变性 69

5.微分在近似计算中的应用 70

（二）典型、综合例题 71

1.微分基本例题 71

2.近似计算例题 72

【习题2.5】 72

六、函数导数理论在经济学中的应用——边际·弹性 73

1.经济学中的常用的几个函数 73

2.边际 74

3.弹性 74

【习题2.6】 77

第三章 微分中值定理与导数的应用 78

一、微分中值定理 78

（一）内容概述与归纳 78

1.函数极值及存在的必要条件 78

2.微分中值定理 78

（二）解题方法与典型、综合例题 80

1.概念、定理验证 80

2.判断方程根的存在 81

3.应用中值定理证明等式与不等式 81

4.利用中值定理求极限 82

【习题3.1】 82

二、求极限之洛必达法则 83

（一）内容概述与归纳 83

1.洛必达法则 83

2.应用洛必达法则时应注意事项 83

（二）解题方法与典型、综合例题 84

1.应用洛必达法则求极限基本方法 84

2.洛必达法则与其他求极限的方法综合使用 85

3.与洛必达法则注意事项相关的反例 86

（三）几种常见无穷大量的比较 86

【习题3.2】 87

三、函数的单调性与极值 88

（一）内容概述与归纳 88

1.函数的单调性 88

2.函数的极值与最值 89

3.利用函数的导数特性证明不等式之综述 90

（二）典型、综合例题 91

【习题3.3】 92

四、曲线的凹凸性与拐点 93

（一）内容概述与归纳 93

1.曲线的凹凸性 93

2.曲线的拐点及其判别 94

（二）解题方法与典型、综合例题 94

1.确定曲线的凹凸性和拐点的步骤 94

2.凹凸性相关的不等式 95

【习题3.4】 96

五、函数图形的描绘 96

（一）内容概述与归纳 96

1.曲线的渐近线 96

2.函数的综合作图 98

（二）解题方法与典型、综合例题 98

1.曲线的渐近线题解 98

2.利用函数特性描绘函数图形 99

【习题3.5】 100

六、函数最值在经济中的应用 100

1.平均成本最低问题 100

2.最大利润（税前或免税情况） 100

3.最大利润（税后情况）和最大征税收益问题 101

4.最优批量问题 102

【习题3.6】 102

第四章 不定积分 104

一、内容概述、归纳与习题 104

（一）原函数与不定积分 104

1.原函数与不定积分的概念 104

2.不定积分的性质 105

3.不定积分的基本公式 105

【习题4.1】 106

（二）不定积分换元法 108

1.第一换元积分法（“凑微分”法） 108

2.第二换元积分法 110

3.简单的无理积分 112

【习题4.2】 113

（三）分部积分法 114

1.分部积分公式、常规例题和需要关注的问题 114

2.分部积分法衍生两种特殊的解题方法 115

【习题4.3】 116

（四）有理函数的不定积分 116

1.有理函数的概念 116

2.四类最简真分式的不定积分 117

3.有理函数积分法要点 117

4.三角函数有理式的不定积分 118

【习题4.4】 119

二、解题方法与典型、综合例题 119

（一）解题方法综述 119

1.解题的一个基本思路 119

2.换元积分法的两个说明 119

3.解难题的方法综述 120

（二）解题分析与典型、综合例题 120

1.不定积分概念的例题 120

2.最简单的不定积分 121

3.换元积分法 122

4.含凑微分式的不定积分与分部积分法 125

5.“凑微分”的实质内涵 126

6.有理函数的不定积分·待定系数法 126

7.三角有理函数的不定积分 128

第五章 定积分 131

一、内容概述、归纳与习题 131

（一）定积分的概念与性质 131

1.曲边梯形的面积 131

2.定积分的定义、可积条件及其几何意义 131

3.定积分的性质 133

【习题5.1】 135

（二）微积分的基本公式 136

1.积分上、下限函数及其导数 136

2.牛顿-莱布尼兹公式 137

【习题5.2】 138

（三）定积分的计算方法 139

1.定积分的换元积分法 139

2.定积分的分部积分法 142

【习题5.3】 143

（四）广义积分与Γ-函数 143

1.无穷限的广义积分 144

2.无界函数的广义积分 145

3.广义积分解题步骤和相关事项 147

4.Γ-函数 149

【习题5.4】 149

（五）定积分的应用 150

1.定积分的微元法 150

2.定积分在几何学上的应用 151

3.定积分在经济学中的应用 154

【习题5.5】 155

二、解题方法与典型、综合例题 156

（一）定积分的概念及其几何意义的理解应用 156

1.用定义求定积分·和式极限 156

2.定积分是面积公式的理论源头 157

（二）分类典型、综合例题与解题方法 157

1.定积分基本性质的综合例题 157

2.定积分中值定理综合分析题 158

3.变上、下限积分的综合例题 159

4.定积分的综合计算方法 160

5.广义积分的综合例题 162

6.定积分的几何应用综合题 163

第六章 多元函数微分 165

一、空间解析几何简介 165

（一）内容概述与归纳 165

1.空间直角坐标系 165

2.空间曲面与方程 166

3.空间平面方程 166

4.几种常见的空间曲面 166

5.空间曲线 168

6.平面极坐标系 169

（二）解题方法与典型、综合例题 170

1.空间图形特性的直观判断 170

2.空间平面方程 171

3.空间图形不同坐标、方程形式的变换 172

4.空间曲面及其上曲线的投影 172

【习题6.1】 173

二、多元函数的基本概念 174

（一）内容概述与归纳 174

1.平面点集 174

2.多元函数 176

3.二元函数的极限 176

4.二元函数的连续性 177

（二）解题方法与典型、综合例题 178

1.二元函数极限计算综述 178

2.典型、综合例题 179

【习题6.2】 180

三、偏导数与全微分 181

（一）内容概述与归纳 181

1.偏导数的概念与几何意义 181

2.高阶偏导数的定义 182

3.偏导数的求解 182

4.偏导数在经济学中的应用 182

5.全微分 185

（二）解题方法与典型、综合例题 186

1.偏导求解 186

2.全微分在近似计算的应用 187

【习题6.3】 188

四、多元函数的微分法 188

（一）内容概述与归纳 188

1.全导数与复合函数求偏导法 188

2.隐函数求导法 189

3.全微分形式不变性 189

（二）解题方法与典型、综合例题 190

1.求复合函数偏导数的关键问题 190

2.求隐函数偏导的方法 191

3.带抽象函数的复合函数求偏导法 192

4.全微分例题 193

【习题6.4】 194

五、多元函数的极值 194

（一）内容概述与归纳 194

1.无条件极值 194

2.条件极值——拉格朗日乘数法 194

（二）典型、综合例题 195

【习题6.5】 196

第七章 二重积分 198

一、内容概述与归纳 198

（一）二重积分的概念与性质 198

1.二重积分的定义 198

2.二重可积函数和二重积分的几何意义 198

3.二重积分的性质 199

【习题7.1】 200

（二）二重积分的计算 200

1.重积分化累次积分简述 200

2.直角坐标系下累次积分的计算 201

3.改变累次积分的顺序（而后进行计算） 203

【习题7.2】 204

（三）二重积分的变量代换 205

1.二重积分的一般换元法 205

2.极坐标下二重积分的计算 206

【习题7.3】 208

（四）二重积分的应用 209

1.计算平面图形的面积 209

2.计算立体的体积 209

3.计算广义积分 209

【习题7.4】 210

二、解题方法与典型、综合例题 211

1.二重积分计算的关键问题 211

2.利用二重积分求几何形体的面、体积 212

3.广义二重积分的例题 213

第八章 无穷级数 215

一、常数项级数 215

（一）内容概述与归纳 215

1.级数及其敛散性的概念 215

2.常数项级数的基本性质 217

（二）解题方法与典型、综合例题 217

1.根据定义判定已知级数的敛散性 217

2.根据级数收敛的必要条件判定级数的发散性 218

3.利用已知等比级数和P-级数的敛散性解题 218

4.一类应用定义判定级数的敛散性的习题 218

【习题8.1】 219

二、正项级数 219

（一）内容概述与归纳 219

1.正项级数的概念及其敛散性的判别 219

2.通项为无穷大量之比的几个级数的敛散性 221

（二）解题方法与典型、综合例题 222

1.应用比较判别法的缩放技巧 222

2.巧用P-级数的性质判断所给级数的敛散性 222

3.应用比较判别法的极限形式要有无穷小量阶比较的观点 223

4.应用比值判别法时最好牢记几种常见无穷大量的比较 223

5.通项中含有n次幂式的因子时可试用根值判别法 223

【习题8.2】 224

三、任意项级数 224

（一）内容概述与归纳 224

1.绝对收敛与条件收敛 224

2.交错级数与莱布尼兹判别法 225

3.级数的柯西收敛原理 225

（二）解题方法与典型、综合例题 225

1.任意项级数敛散性判别的总体思路 225

2.先判别级数是否绝对收敛 226

3.交错级数可试用莱布尼茨判别法 226

4.常数项级数审敛法小结 227

【习题8.3】 228

四、幂级数和函数的幂级数展开 229

（一）内容概述与归纳 229

1.函数项级数的基本概念 229

2.幂级数 230

3.函数的幂级数展开 231

（二）解题方法与典型、综合例题 233

1.认识到存在两种收敛状态——点态收敛和整区域收敛 233

2.解题方法和注意事项 233

3.典型、综合例题 233

【习题8.4】 235

第九章 常微分方程 237

一、内容概述、归纳与习题 237

（一）微分方程的基本概念 237

1.微分方程的定义 237

2.微分方程的解 237

3.解微分方程应用题的方法和步骤 238

4.关于微分方程求解的特别说明 239

【习题9.1】 239

（二）一阶微分方程及其求解 240

1.可分离变量方程 240

2.齐次微分方程 241

3.全微分方程 242

4.一阶线性微分方程 243

5.伯努利方程 244

【习题9.2】 244

（三）高阶微分方程 245

0.预备知识 245

1.二阶常系数齐次线性微分方程 246

2.二阶常系数非齐次线性微分方程 247

3.二类高阶微分方程 250

【习题9.3】 252

（四）微分方程在经济学中的应用 253

【习题9.4】 255

二、解题方法与典型、综合例题 256

（一）一阶和可降阶微分方程的解法综述 256

1.一阶微分方程及其解法 256

2.可降阶高阶微分方程及其解法 256

3.全微分方程求解 256

（二）二阶非齐次线性微分方程y’’+py’+qy=f（x）的解题综述 256

1.方程求解步骤 256

2.求解方程之特解的详细思路 256

（三）二阶微分方程按自由项细分为几个简化类之求特解的方法 257

1.【简化类型Ⅰ】 257

2.【简化类型Ⅱ】 258

3.【简化类型Ⅲ】 258

4.【简化类型Ⅳ】 259

5.【简化类型Ⅴ】 260

附录 微分方程求解方法列表 261

第二篇 练习题及其解答和教学研讨 263

一、章节习题、自测题及其解答与杂难综合例题 263

（一）第一章 函数与极限 263

Ⅰ.第一章习题解答 263

【习题1.0】（预备知识）（解答） 263

【习题1.1】（函数）（解答） 265

【习题1.2】（数列的极限）（解答） 268

【习题1.3】（函数的极限）（解答） 269

【习题1.4】（无穷小量阶的比较）（解答） 271

【习题1.5】（函数的连续性）（解答） 272

Ⅱ.第一章自测题及其解答 273

自测题一 273

自测题一参考答案 274

Ⅲ.第一章杂难题与综合例题 275

（二）第二章 导数与微分 279

Ⅰ.第二章习题解答 279

【习题2.1】（导数的概念）（解答） 279

【习题2.2】（函数的求导法则）（解答） 280

【习题2.3】（高阶导数）（解答） 282

【习题2.4】（隐函数及由参数方程所确定的函数的导数）（解答） 283

【习题2.5】（微分）（解答） 284

【习题2.6】（函数导数理论在经济学中的应用）（解答） 285

Ⅱ.第二章自测题及其解答 286

自测题二 286

自测题二参考答案 287

Ⅲ.第二章杂难题与综合例题 288

（三）第三章 微分中值定理与导数的应用 292

Ⅰ.第三章习题解答 292

【习题3.1】（微分中值定理与导数的应用）（解答） 292

【习题3.2】（求极限之洛必达法则）（解答） 293

【习题3.3】（函数的单调性与极值）（解答） 293

【习题3.4】（曲线的凹凸性与拐点）（解答） 296

【习题3.5】（函数图形的描绘）（解答） 297

【习题3.6】（函数最值在经济中的应用）（解答） 299

Ⅱ.第三章自测题及其解答 300

自测题三 300

自测题三参考答案 300

Ⅲ.第三章杂难题与综合例题 302

（四）第四章 不定积分 306

Ⅰ.第四章习题解答 306

【习题4.1】（原函数与不定积分的概念）（解答） 306

【习题4.2】（不定积分换元法）（解答） 308

【习题4.3】（分部积分法）（解答） 311

【习题4.4】（有理函数的不定积分）（解答） 313

Ⅱ.第四章自测题及其解答 314

自测题四 314

自测题四参考答案 315

Ⅲ.第四章杂难题与综合例题 317

（五）第五章 定积分 322

Ⅰ.第五章习题解答 322

【习题5.1】（定积分的概念与性质）（解答） 322

【习题5.2】（微积分的基本公式）（解答） 323

【习题5.3】（定积分的计算方法）（解答） 324

【习题5.4】（广义积分与r-函数） 326

【习题5.5】（定积分的应用）（解答） 327

Ⅱ.第五章自测题及其解答 329

自测题五 329

自测题五参考答案 331

Ⅲ.第五章杂难题与综合例题 332

（六）第六章 多元函数微分 336

Ⅰ.第六章习题解答 336

【习题6.1】（空间解析几何简介）（解答） 336

【习题6.2】（多元函数的基本概念）（解答） 337

【习题6.3】（偏导数与全微分）（解答） 338

【习题6.4】（多元函数的微分法）（解答） 340

【习题6.5】（多元函数的极值）（解答） 341

Ⅱ.第六章自测题及其解答 343

自测题六 343

自测题六参考答案 344

Ⅲ.第六章杂难题与综合例题 346

（七）第七章 二重积分 350

Ⅰ.第七章习题解答 350

【习题7.1】（重积分的概念与性质）（解答） 350

【习题7.2】（二重积分的计算）（解答） 350

【习题7.3】（重积分的变量代换）（解答） 352

【习题7.4】（二重积分的应用）（解答） 353

Ⅱ.第七章自测题及其解答 354

自测题七 354

自测题七参考答案 355

Ⅲ.第七章杂难题与综合例题 356

（八）第八章 无穷级数 359

Ⅰ.第八章习题解答 359

【习题8.1】（常数项级数）（解答） 359

【习题8.2】（正项级数）（解答） 360

【习题8.3】（任意项级数）（解答） 361

【习题8.4】（幂级数和函数的幂级数展开）（解答） 362

Ⅱ.第八章自测题及其解答 366

自测题八 366

自测题八参考答案 367

Ⅲ.第八章杂难题与综合例题 368

（九）第九章 常微分方程 372

Ⅰ.第九章习题解答 372

【习题9.1】（微分方程的基本概念）（解答） 372

【习题9.2】（一阶微分方程及其求解）（解答） 373

【习题9.3】（二阶常系数线性微分方程）（解答） 375

【习题9.4】（微分方程在经济学中的应用）（解答） 377

Ⅱ.第九章自测题及其解答 379

自测题九 379

自测题九参考答案 380

Ⅲ.第九章杂难题与综合例题 382

二、阶段试题、知识竞赛试题及其解答 387

（一）阶段试题及其解答 387

Ⅰ.《微积分》（第一、二章）阶段试卷及其解答 387

1.《微积分》（第一、二章）阶段试卷1及其解答 387

《微积分》（第一、二章）阶段试卷1 387

《微积分》（第一、二章）阶段试卷1（参考答案） 388

2.《微积分》（第一、二章）阶段试卷2及其解答 390

《微积分》（第一、二章）阶段试卷2 390

《微积分》（第一、二章）阶段试卷2（参考答案） 391

Ⅱ.《微积分》（第三、四章）阶段试卷及其解答 393

1.《微积分》（第三、四章）阶段试卷1及其解答 393

《微积分》（第三、四章）阶段试卷1 393

《微积分》（第三、四章）阶段试卷1（参考答案） 394

《微积分》（第三、四章）阶段试卷2 396

《微积分》（第三、四章）阶段试卷2（参考答案） 397

Ⅲ.《微积分》（第五、六章）阶段试卷及其解答 398

1.《微积分》（第五、六章）阶段试卷1及其解答 398

《微积分》（第五、六章）阶段试卷1 398

《微积分》（第五、六章）阶段试卷1（参考答案） 400

2.《微积分》（第五、六章）阶段试卷2及其解答 402

《微积分》（第五、六章）阶段试卷2 402

《微积分》（第五、六章）阶段试卷2（参考答案） 403

Ⅳ.《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷及其解答 404

1.《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷1及其解答 404

《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷1 404

《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷1（参考答案） 406

2.《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷2及其解答 408

《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷2 408

《微积分》（第七、八、九章）阶段试卷2（参考答案） 409

（二）知识竞赛试题及其解答 411

Ⅰ.知识竞赛试题1及其解答 411

《微积分》知识竞赛试卷1 411

《微积分》知识竞赛试卷1（参考答案：120分） 412

Ⅱ.知识竞赛试题2及其解答 415

《微积分》知识竞赛试卷2 415

《微积分》知识竞赛试卷2（参考答案；120分） 416

三、教学研讨 419

（一）高等数学教育的人文功效 419

（二）数学理论在经济学中一个有效应用的典型例子 420

（三）关于教材结构与取材的几点建议 421

1.教材应保持逻辑严密的连贯性 421

2.非重要的概念和知识点不宜展开深入讨论 422

3.重视介绍解题技能、方法，避免过多记忆公式和疑难复杂的运算 423

4.提倡用一种方法解决多种问题 424

5.关于微分方程内容设置的意见 424

（四）注意教学方法 424

1.面对“文科生”教学方法更重要 424

2.提倡启发教学 425

3.勤动笔与勤思考相结合 425

（五）微积分教学中的几个理论问题 425

1.极限存在性知识点的设置 425

2.少用细致分析方法 425

3.关于积分理论的几点意见 426

4.多值函数的极值 427

【附录】数学历史上的三次危机 427

1.第一次数学危机 427

2.第二次数学危机 428

3.第三次数学危机 430

4.集论公理系统浅述 430

参考文献 432