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第1章 数学基础知识 1

1.1 集合与数 1

1.1.1 集合及其运算 1

1.1.2 数集 2

1.1.3 数的误差 3

1.2 点与向量 4

1.2.1 向量的概念 4

1.2.2 向量运算 5

1.2.3 坐标系 8

1.2.4 向量的坐标表示 9

1.2.5 向量的坐标运算 9

习题 10

第2章 函数与方程 12

2.1 函数及其图形 12

2.1.1 一元函数的有关概念与性质 13

2.1.2 一元函数运算与图形变换 16

2.1.3 一元函数的反函数 19

2.1.4 基本初等函数及其图形 20

2.1.5 多元函数与多元初等函数 23

2.2 曲面的方程 25

2.2.1 函数与方程 25

2.2.2 曲面的一般方程与参数方程 25

2.2.3 曲面的等高线与等高线图 26

2.2.4 几种常见曲面的一般方程与参数方程 28

2.3 空间曲线的方程 32

2.3.1 空间曲线的一般方程与参数方程 32

2.3.2 常见空间曲线及其方程 33

习题 34

第3章 极限与连续 37

3.1 极限的概念 37

3.1.1 有关极限的几个例子 37

3.1.2 直观的极限概念与几个重要极限 39

3.1.3 点函数的极限 45

3.2 极限的计算 45

3.2.1 极限的运算 45

3.2.2 无穷小的概念与无穷小的阶 49

3.3 连续函数的概念 50

3.3.1 函数的连续与间断 50

3.3.2 一元函数间断点的类型及其对应的函数图形 51

3.3.3 多元函数的点连续 52

3.3.4 初等函数的连续性 52

3.4 连续函数的性质与连续变量的离散性 53

3.4.1 连续函数的最值性与介值性 53

3.4.2 连续函数的零点定理与求方程根的二分法 54

3.4.3 连续变量的离散化 55

习题 56

第4章 微分学及其应用 59

4.1 导数的概念 59

4.1.1 问题的提出 59

4.1.2 平均变化率、瞬时变化率与导数 61

4.1.3 导数的几何意义与实际意义 61

4.1.4 高阶导数 62

4.2 求导法与求导法则 63

4.2.1 近似求导法 63

4.2.2 导数公式与求导运算 63

4.2.3 由方程与参数方程确定函数的求导法 67

4.3 多元函数的偏导数 69

4.3.1 二元函数偏导数的概念及其求法 69

4.3.2 多元函数偏导数的概念及其求法 70

4.4 导数的应用 71

4.4.1 一元函数的单调性与凹凸性 71

4.4.2 一元可导函数的极值与最值 73

4.4.3 多元函数的极值与最值问题 75

4.5 非线性函数的线性化 77

4.5.1 微分与全微分 77

4.5.2 非线性函数的线性化 79

4.5.3 线性化应用 80

4.5.4 二元函数的梯度及其应用 82

习题 85

第5章 积分学及其应用 88

5.1 定积分的概念 88

5.1.1 积分的基本思想 88

5.1.2 定积分的定义 91

5.1.3 定积分的几何意义 92

5.1.4 定积分的性质 94

5.2 微积分基本定理 96

5.3 积分法 99

5.3.1 不定积分的概念与基本积分公式 99

5.3.2 直接积分法 100

5.3.3 凑微分法 102

5.3.4 定积分的换元法 104

5.3.5 分部积分法 105

5.4 广义积分 107

5.4.1 无穷区间的广义积分 107

5.4.2 无界函数的广义积分 109

5.5 定积分应用举例 110

5.5.1 平面图形的面积 110

5.5.2 旋转体的体积 111

5.5.3 变力所作的功 113

5.5.4 均匀货币流的价值 113

5.6 重积分 115

5.6.1 重积分的概念 115

5.6.2 二重积分的概念与性质 117

5.6.3 二重积分的计算 118

5.6.4 二重积分的应用 123

5.7 对坐标的曲线积分 125

5.7.1 对坐标的曲线积分的概念 125

5.7.2 对坐标的曲线积分的计算 126

5.7.3 格林(Green)公式 128

5.7.4 平面曲线积分与路径无关的条件 130

5.8 积分的近似计算 131

5.8.1 矩形法 131

5.8.2 梯形法 132

5.8.3 抛物线法 133

5.8.4 广义积分的近似计算 134

5.8.5 二重积分的近似计算 135

习题 136

第6章 矩阵及其应用 140

6.1 矩阵引例 140

6.2 矩阵 142

6.2.1 矩阵的概念 142

6.2.2 矩阵的运算 143

6.2.3 初等矩阵与矩阵的初等变换 145

6.2.4 矩阵的秩 147

6.3 方阵的几种特殊运算 148

6.3.1 方阵的行列式 148

6.3.2 方阵的幂 153

6.3.3 逆矩阵 155

6.4 n维向量 158

6.4.1 n维向量 158

6.4.2 向量组的线性关系 158

6.5 矩阵应用 161

6.5.1 解线性方程组 161

6.5.2 矩阵的特征值与特征向量 163

6.5.3 矩阵与图形的几何变换 165

6.5.4 实二次型 168

习题 170

第7章 级数与逼近 175

7.1 问题的引入 175

7.2 测量数据的处理 175

7.2.1 多项式插值 176

7.2.2 泰勒逼近多项式与泰勒级数 181

7.3 无穷级数及其收敛 183

7.3.1 和的极限与级数收敛 183

7.3.2 级数的基本性质 185

7.4 级数敛散性的判别法 186

7.4.1 正项级数收敛的判别法 186

7.4.2 交错级数的莱布尼兹判别法 190

7.4.3 一般数项级数的收敛性 190

7.5 函数项级数 192

7.5.1 一般函数项级数的概念 192

7.5.2 幂级数及其收敛半径 192

7.5.3 幂级数的运算及和函数 195

7.5.4 函数展开成幂级数 197

7.6 函数逼近与数据拟合 199

7.6.1 最佳均方逼近准则 200

7.6.2 最小二乘法 200

习题 201

第8章 微分方程 205

8.1 微分方程的基本概念 205

8.1.1 实例 205

8.1.2 微分方程的基本概念 207

8.2 一阶微分方程 209

8.2.1 可分离变量的微分方程 209

8.2.2 齐次型微分方程 211

8.2.3 一阶线性微分方程 212

8.3 二阶线性微分方程 215

8.3.1 实例 215

8.3.2 二阶线性微分方程解的结构 215

8.3.3 二阶常系数线性齐次微分方程 217

8.3.4 二阶常系数线性非齐次微分方程 220

8.4 微分方程组 225

8.5 微分方程的近似解 229

8.5.1 微分方程的近似解 229

8.5.2 欧拉折线法 229

8.5.3 改进的欧拉折线法 230

8.5.4 龙格·库塔法 231

习题 232

第9章 傅氏级数与积分变换 234

9.1 傅氏级数 234

9.1.1 傅氏级数的引例 234

9.1.2 以2π为周期的函数展开成傅立叶级数 235

9.1.3 以T为周期的函数的傅氏级数 238

9.1.4 周期函数的频谱 240

9.2 傅立叶变换 242

9.2.1 非周期函数的展开--傅氏积分 242

9.2.2 傅氏变换 243

9.2.3 几种典型非周期信号的频谱 244

9.2.4 单位冲激函数及其频谱 246

9.3 傅氏变换的性质 249

9.3.1 傅氏变换的性质 249

9.3.2 卷积定理 252

9.3.3 相关函数与能量谱 253

9.4 拉普拉斯变换 255

9.4.1 拉普拉斯变换的概念 255

9.4.2 拉氏变换的性质 258

9.4.3 拉氏逆变换 260

9.4.4 拉氏变换的应用 261

习题 263

第10章 统计与随机模拟基础 265

10.1 统计的有关问题 265

10.2 统计分析基础 266

10.2.1 啤酒装瓶的容积 267

10.2.2 频率直方图 268

10.2.3 概率、概率密度函数与条件概率 269

10.2.4 随机变量的数字特征 272

10.2.5 几种特殊的分布函数及其数字特征 274

10.2.6 几种特殊离散型随机变量的分布律 277

10.3 统计分析方法 280

10.3.1 统计分析要解决的问题 280

10.3.2 参数估计 281

10.3.3 假设检验与实例 283

10.3.4 方差分析与实例 285

10.3.5 回归分析与实例 287

10.3.6 主成份分析与实例 289

10.4 随机模拟初步 292

10.4.1 随机模拟问题 292

10.4.2 随机变量的抽取 294

10.4.3 随机系统模拟 297

10.4.4 提高抽样效率的两种方法 299

10.5 几个有用的例子 300

10.5.1 蒙特卡罗积分 300

10.5.2 近似计算中的误差估计 302

习题 303