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第一部分 概率论 1

第一章 概率空间 1

1. 随机现象和随机试验 1

1·1.概率论和数理统计的研究对象 1

必然现象和随机现象 1

产生随机性的原因 2

随机现象的统计规律性 2

概率论和数理统计的研究对象 3

1·2.随机试验 3

随机试验 4

随机试验的例 4

1·3.随机事件和随机变量 6

2. 事件的关系和运算·基本事件空间 7

2·1.事件的关系和运算 7

2·2.事件运算的简单性质 10

2·3.基本事件空间 12

3. 事件的概率 13

3·1.古典型概率 14

古典型随机试验 14

古典型概率的定义 15

古典型概率的性质 17

3·2.几何型概率 18

几何型随机试验 18

几何型随机试验的事件 18

几何型随机试验中事件的概率 19

几何型概率的性质 21

3·3.频率和概率 22

事件的频率 22

频率的稳定性和概率 23

频率的性质 24

4. 事件σ-代数·可测空间 25

4·1.事件σ-代数 26

σ-代数的简单性质 26

σ-代数的例 27

4·2.含给定集系的最小σ-代数·波莱尔σ-代数 28

含给定集系的最小σ-代数 28

波莱尔σ-代数和波莱尔集 29

4·3.集合σ-代数和单调集合类 30

5. 概率的公理化定义·概率空间 33

5·1.概率的公理化定义·概率空间 33

5·2.概率的性质 36

5·3.概率测度的开拓 41

定义在集合代数上的概率测度 41

概率测度的开拓定理 42

6. 事件的条件概率 42

6·1.直观背景 42

古典型 42

几何型 44

条件频率 44

6·2.条件概率的定义和性质 45

6·3.和条件概率有关的基本公式 46

乘法公式 46

全概率公式 47

贝叶斯公式 49

7. 事件的独立性 52

7·1.二事件的独立性 52

定义 52

独立事件的性质 54

7·2.多个事件的独立性 55

7·3.事件列的独立性 57

8. 计算事件概率的例 59

8·1.组合分析的基本公式 59

基本法则 59

排列 60

组合 60

基本性质 61

8·2.随机取样 61

8·3.分配问题 63

8·4.例 64

习题 76

第二章 一维随机变量及其概率分布 85

1. 一维随机变量的定义及其分布函数 85

1·1.随机变量的数学定义 85

1·2.随机变量产生的事件 88

1·3.随机变量的分布函数 91

1·4.离散型和连续型随机变量 97

2. 离散型随机变量 98

2·1.离散型随机变量的概率分布和分布函数 98

离散型随机变量的概率分布 99

离散型随机变量的分布函数 99

2·2.退化分布 100

2·3.二项分布和负二项分布 101

伯努利试验 101

多重伯努利试验 101

伯努利试验中的概率分布 102

伯努利分布 102

二项分布 102

负二项分布 107

几何分布 108

2·4.超几何分布 109

超几何分布的二项分布逼近 110

负超几何分布 112

2·5.泊松分布 112

泊松分布的最可能数和概率的最大值 112

伯努利试验列中的稀有事件 114

泊松事件流 118

随机质点的空间分布 125

3. 连续型随机变量 126

概率密度的性质 127

连续型随机变量的概率分布 128

3·1.均匀分布 129

3·2.指数分布 130

泊松流中的等待时间 130

指数分布的无后效性 131

3·3.正态分布 132

正态分布的性质和特点 133

标准正态分布 134

正态分布在理论和实际中的地位 138

产生正态分布的一般条件 142

3·4.对数正态分布 143

3·5.Γ-分布 144

指数分布 144

厄兰分布 145

x2-分布 145

3·6.B-分布 146

F-分布与B-分布 147

二项分布和负二项分布与B-分布 148

4. 一维随机变量的概率分布 150

4·1.一维随机变量的概率分布 150

4·2.分布和分布函数 152

分布和分布函数的一一对应关系 152

分布函数的性质和分类 155

分布函数为给定函数的随机变量的存在性 157

4·3.随机变量之概率分布的分析表达式 158

离散型 158

连续型 158

一般情形 159

习题 159

第三章 随机向量及其函数的分布 164

1. 随机向量及其概率的分布 164

1·1.随机向量及其分布函数 164

随机向量之分布函数的性质 168

1·2.离散型和连续性随机向量 169

离散型随机向量 169

连续型随机向量 172

1·3.随机向量的边缘分布函数 178

一般情形 178

连续型 179

离散型 181

1·4.随机向量的概率分布 182

随机向量的概率分布 183

n维分布和n元分布函数 183

随机向量之概率分布的分析表达式 185

2. 随机变量的独立性 186

2·1.一维情形 186

离散型随机变量独立的充分必要条件 187

连续型随机变量独立的充发必要条件 188

一般情形 189

2·2.独立随机向量 192

3. 随机变量的条件分布 193

3·1.随机变量关于巳给事件的条件分布函数 193

3·2.一随机变量关于另一随机变量的条件的分布函数 194

条件密度 195

离散型随机变量的条件分布 198

3·3.条件分布的简单性质 199

4. 随机向量的函数 201

4·1.随机向量的函数 202

波莱尔函数 202

独立随机向量的函数的独立性 203

4·2.随机向量的函数的分布 204

一般情形 204

随机向量的函数的密度 207

4·3.随机变量之和(差)及商(积)的分布 216

二随机变量和的分布 216

二随机变量差的分布 222

二随机变量商的分布 222

二随机变量积的分布 224

4·4.三个重要分布 224

x2-分布 225

t-分布 228

F-分布 230

习题 232

第四章 随机变量的数字特征 238

1. 随机变量的数学期望 239

1·1.离散型随机变量数学期望 239

频率平均值 239

定义 240

离散型随机变量数学期望的性质 242

1·2.随机变量的数学期望(一般情形) 245

定义 245

非负随机变量数学期望的性质 247

数学期望的性质(一般情形) 249

1·3.勒贝格-司梯阶积分 251

1·4.随机变量的函数的数学期望 252

一维情形 252

多维情形 257

车贝晓夫不等式 259

独立随机变量函数的数学期望 260

2. 随机变量的方差和矩 260

2·1.随机变量的方差 261

定义 261

方差的基本性质 262

2·2.随机变量的矩 268

矩的计算公式 269

原点矩和中心矩的换算 270

2·3.关于矩的一些重要不等式 274

马尔科夫不等式和车贝晓夫不等式 274

柯西-布尼亚科夫斯基不等式 274

赫尔德不等式 275

明科夫斯基不等式 276

詹森不等式 277

李亚普诺夫不等式 278

3. 随机向量的数字特征 278

3·1.二随机变量的协方差和相关系数 278

协方差的基本性质 280

相关系数的性质 280

二随机变量的相关性 283

3·2.随机向量的数学期望和方差 284

记号 284

定义 286

数学期望的性质 286

方差的性质 288

n维正态分布的数学期望和方差 289

3·3.二随机向量的协方差 291

协方差的性质 291

不相关随机向量 292

4. 条件数学期望 292

4·1.随机变量关于事件的条件数学期望 292

全数学期望公式 295

E(ξ|B)的基本性质 296

4·2.一随机变量关于另一随机变量的条件数学期望 297

随机变量η关于{ξ=x}的条件数学期望 297

随机变量η关于随机变量ξ的条件数学期望 301

条件数学期望E(η|ξ)的性质 302

4·3.最优回归函数 303

习题 305

第五章 特征函数 313

1. 随机变量的特征函数的定义和基本性质 314

1·1.定义 314

1·2.基本性质 315

2. 特征函数和分布函数的对应关系 322

2·1.特征函数和分布函数 323

2·2.特征函数和分布函数对应的唯一性 323

2·3.特征函数和分布函数对应的连续性 331

分布函数列的弱收敛 331

连续性定理 337

2·4.极限分布函数连续的情形 341

3. 随机向量的特征函数 342

3·1.定义 342

3·2.基本性质 344

3·3.随机向量的特征函数与分布函数的对应关系 350

对应的唯一性 350

对应的连续性 352

随机向量独立的充要条件 353

3·4.多维正态分布 355

习题 360

第六章 独立随机变量列的极限定理 364

1. 随机变量列的收敛性 364

1·1.以概率1收敛 365

1·2.依概率收敛 368

1·3.依分布收敛 370

1·4.r-阶收敛 372

1·5.四种收敛性的关系 373

2. 大数定律 374

2·1.问题的提法 374

2·2.大数定律 376

2·3.强大数定律 379

波莱尔强大数定律 379

柯尔莫戈洛夫准则 380

独立同分布随机变量列的强大数定律 384

2·4.应用大数定律的例 387

3. 中心极限定理 392

3·1. 中心极限定理的提法 393

独立随机变量之和 393

独立随机变量的规范和 394

记号 395

定义 395

3·2.同分布情形 396

列维-林德伯格定理 397

棣莫佛-拉普拉斯积分定理 397

3·3.林德伯格定理 401

3·4.李亚普诺夫定理 410

习题 412

第二部分 数理统计 418

第七章 数理统计的基本概念 418

1. 样本空间 419

1·1.总体和表征总体的随机变量 419

统计特征 419

表征总体的随机变量 420

总体的分布和数字特征 421

具体总体和抽象总体 421

1·2.简单随机取样和简单随机样本 422

1·3.样本空间 424

1·4.随机样本的概率分布 425

1·5.统计量 425

2. 经验分布函数和随机样本的数字特征 427

2·1.经验分布函数 427

2·2.样本数字特征 428

2·3.样本数字特征的概率分布 430

样本均值与样本方差的分布和独立性 430

t-分布 433

样本方差比的概率分布 435

3. 顺序统计量 436

3·1.顺序统计量及其概率分布 436

3·2.样本极差及其概率分布 439

3·3.极值分布 440

4. 数理统计的基本问题 441

4·1.采集样本 441

抽样技术 441

试验设计 442

4·2.统计推断的基本问题 443

统计估计问题 443

统计假设检验 444

习题 445

第八章 参数估计理论 448

1. 参数估计问题的提法 448

1·1.一般提法 449

1·2.未知参数的点估计 449

1·3.未知参数的区间估计 450

2. 参数的点估计 451

2·1.选择估计量的原则 451

2·2.克拉美-逻不等式·有效估计量 453

费歇信息量 454

克拉美-逻不等式 456

有效估计量和估计量的效率 458

2·3.建立估计量的方法 459

矩估计法 459

矩估计量的性质 461

最大似然估计法 463

最大似然估计量的求法·似然方程 464

最大似然估计量的性质 470

2·4.随机向量分布参数的点估计 480

3. 参数的区间估计 483

3·1.置信区间和置信度 484

3·2.建立置信区间的方法 484

3·3.正态分布参数的区间估计 485

习题 489

第九章 统计假设检验 493

1. 统计假设和假设检验的基本概念 494

1·1.统计假设 494

参数假设和非参数假设 494

简单假设和复合假设 495

基本假设和对立假设 495

1·2.统计假设的检验 496

2. 统计假设的显著性检验 497

2·1.小概率原则·显著性水平 497

2·2.统计假设显著性检验的一般过程 498

2·3.关于正态分布参数假设的显著性检验 499

检验假设μ=μ0 499

检验假设μ1=μ2 502

检验假设σ=σ0 505

检验假设σ1=σ2 507

检验假设r=0 509

2·4.似然比检验 512

似然比检验的基本思想 512

似然比检验的一般过程 514

3. 管理图 519

3·1.问题的提出 519

3·2.什么叫管理图 520

3·3.建立管理图的原则·3σ-管理图 522

3σ-管理图 522

未知参数的估计 526

4. 最大功效检验 530

4·1.统计假设检验的两类错误和功效 530

检验准则 531

检验的两类错误 531

检验的功效函数 532

一致最大功效检验 532

α-水平一致最大功效检验 532

4·2.奈曼-皮尔逊基本引理 536

4·3.一致最大功效检验的例 541

4·4.一致最大功效无偏检验的概念和例 546

无偏检验 546

一致最大功效无偏检验 546

4·5.正态分布参数检验表 548

5. 非参数假设的X2-检验 550

5·1.分布拟合检验 551

X2-检验 551

统计量X？的极限分布·皮尔逊定理 552

皮尔逊定量的推广 555

5·2.独立性的检验 560

二事件独立性的检验 560

二随机变量独立性的检验 562

5·3.齐一性的检验 565

5·4.其它非参数检验 568

习题 568

第十章 线性统计模型初步 575

1. 线性回归 575

1·1.一元正态线性回归的数学模型 575

问题的提法 575

数学模型 577

1·2.未知参数的估计 578

正规方程·回归系数的点估计 578

参数σ2的点估计 580

估计量？β0？β1和？2的分布 581

未知参数β0β1和σ2的区间估计 583

1·3.线性关系的显著性检验 584

1·4.利用回归方程进行预测和控制 585

预测 585

控制 588

1·5.一元线性回归模型的推广 589

1·6.例 589

2. 方差分析 594

2·1.一种方式分组的方差分析模型 594

单因素试验 594

数学模型 596

统计推断的基本问题 596

方差分析法 597

2·2.变动平方和的分解 597

变动平方和的分解 597

变动平方和的概率分布 599

2·3.未知参数的估计 600

点估计 600

区间估计 600

2·4.基本假设的显著性检验 601

3. 一般线性模型 603

3·1.一般线性模型和例 604

样本的线性结构 604

线性模型的例 605

3·2.未知参数的估计·最小二乘法 612

最小二乘估计 612

最小二乘估计的性质 617

σ2的估计 620

正态线性模型的估计问题 621

带约束线性模型的估计问题 626

3·3.线性假设的检验 630

线性假设的一般形式 630

线性假设的显著性检验 632

例 637

习题 643

附录 648

Ⅰ.常见概率分布表 648

1. 离散型概率分布 648

2. 连续型概率分布 649

3. 多维概率分布 654

Ⅱ.习题答案 655

Ⅲ.常用数理统计表 680

附表1. 标准正态分布函数值表 680

附表2. 标准正态分布双侧分位数(ua)表 681

附表3. 泊松分布概率值表 682

附表4. 泊松分布累计概率值表 683

附表5. x2-分布上侧分位数(x?)表 684

附表6. t-分布双侧分位数(ta)表 686

附表7. F-分布上侧分位数(Fa)表 687

附表8. 样本相关系数的临界值(ra)表 691

附表9. s／σ的数学期望和标准差、3σ-？管理图系数表 692

附表10. 3σ-ξ管理图系数表 693

附表11. R／σ的数学期望和标准差、3σ-R管理图系数表 693

Ⅳ.书中人名英-俄-汉对照 694

Ⅴ.参考书目 697