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(上册) 1

第一章 函数、极限、连续 1

1.1 函数 1

1.1 预备知识 1

1.2 函数的概念及其图形 4

1.3 函数值的计算，分段函数 6

1.4 函数的几种常见性态 7

1.5 反函数 9

1.6 函数的四则运算及复合运算 11

1.7 基本初等函数的性质与图形 13

1.8 初等函数与几个作图方法 18

1.9 双曲函数 21

1.10 本节小结 23

习题1.1 24

1.2 极限与连续的概念 26

2.1 数列的极限 27

2.2 函数在无穷远处的极限 29

2.3 函数在一点的极限 31

2.4 单侧极限 33

2.5 函数连续的概念 34

2.6 函数极限与数列极限的关系 36

习题1.2 37

1.3 极限与连续的基本性质 38

3.1 一般变量的极限 38

3.2 无穷小与无穷大 39

3.3 保序性定理及其推论 41

3.4 极限与连续的四则运算法则 43

3.5 复合函数的极限与连续 45

3.6 初等函数的连续性 46

3.7 函数的间断点及其分类 47

习题1.3 48

3.8 幂指函数的极限 48

1.4 极限存在的准则与两个重要极限 50

4.1 夹逼定理 50

4.2 重要极限？=1 51

4.3 单调有界变量必有极限准则 52

4.4 重要极限lim(1+？)x=e 54

4.5 无穷小、无穷大的比较 56

4.6 本节小结 59

习题1.4 60

1.5 闭区间上连续函数的性质 62

5.1 介值定理 62

5.2 最值定理 63

5.3 反函数的连续性定理 64

习题1.5 64

1.1 导数的定义 65

2.1 导数的概念 65

第二章 导数与微分 65

1.2 求导的例 68

1.3 单侧导数、无穷导数 70

1.4 可导与连续的关系 71

习题2.1 72

2.2 求导的运算法则 73

2.1 求导的四则运算法则 74

2.2 复合函数的求导公式——链锁法则 75

2.3 反函数的求导公式 78

2.4 隐函数的求导法 79

2.5 参数式函数的求导法 81

2.6 导数的基本公式与求导的运算法则小结 82

2.7 相关变率问题 83

习题2.2 84

3.1 高阶导数的概念 88

2.3 高阶导数 88

3.2 函数乘积的n阶导数公式 90

习题2.3 92

2.4 微分 93

4.1 微分的定义 93

4.2 可微与可导的关系。微分的几何意义 94

4.3 微分的运算法则 96

4.4 微分在近似计算中的应用 97

4.5 本节小结 100

习题2.4 101

第三章 微分中值定理与导数的应用 103

3.1 微分中值定理 103

1.1 费尔马定理——极值的必要条件 103

1.2 微分中值定理 105

习题3.1 108

3.2 罗必塔法则 110

习题3.2 115

3.3 泰勒公式 117

习题3.3 121

3.4 利用导数作函数的图形 122

4.1 函数单调性判别法 122

4.2 函数极值判别法 125

4.3 曲线的凹凸性与拐点 127

4.4 函数的渐近线 130

4.5 利用导数作函数的图形 133

习题3.4 135

3.5 最值问题应用举例 137

习题3.5 140

3.6 曲率 142

6.1 曲率的概念及其计算公式 142

6.2 曲率半径与曲率圆 145

习题3.6 146

6.3 曲率中心的计算公式 146

3.7 方程近似根的求法 147

7.1 二分法 147

7.2 切线法 149

习题3.7 151

第四章 定积分、不定积分及其计算 152

4.1 定积分的概念与性质 152

1.1 曲边梯形面积的求法 152

1.2 定积分的定义 154

1.3 重要的可积性定理 156

1.4 定积分的性质 156

1.5 第一中值定理 159

习题4.1 160

2.1 原函数与不定积分的概念 161

4.2 不定积分的概念与性质 161

2.2 基本积分公式表 163

2.3 分项积分法 164

习题4.2 165

4.3 积分学基本定理 165

3.1 变上限积分 166

3.2 牛顿-莱布尼兹公式 167

习题4.3 169

4.4 换元积分法与分部积分法 171

4.1 不定积分的第一换元积分法 171

4.2 不定积分的第二换元积分法 176

习题4.4(a) 179

4.3 定积分的换元积分法 180

习题4.4(b) 185

4.4 分部积分法 186

4.5 基本积分公式表二 190

4.6 积分表的查法 191

习题4.4(c) 192

4.5 几类函数的一般积分法 193

5.1 有理函数的积分法 194

5.2 三角有理式的积分 197

5.3 简单无理函数的积分 198

习题4.5 199

4.6 定积分的近似计算法 199

6.1 梯形法 200

6.2 中矩形法 201

6.3 辛普森法 202

习题4.6 206

4.7 广义积分 206

7.1 无穷积分 207

7.2 瑕积分 209

习题4.7 212

第五章 定积分的应用与微分方程初步 214

5.1 定积分在几何上的应用 214

1.1 定积分的微元法 214

1.2 平面图形的面积 216

1.3 依平行截面的面积求立体的体积 218

1.4 平面曲线的弧长 221

1.5 旋转面面积的求法 227

习题5.1 229

5.2 定积分在物理上的应用 232

2.1 变力下直线运动所作的功 232

2.2 引力的计算 234

2.3 交流电路的平均值问题 235

习题5.2 238

3.1 常微分方程的概念 241

5.3 微分方程初步 241

3.2 可分离变量方程的解法 244

3.3 一阶线性微分方程的解法 246

3.4 本节小结 249

习题5.3 249

第六章 空间解析几何 252

6.1 空间直角坐标系 252

1.1 空间直角坐标系 252

1.2 两点的距离 255

习题6.1 256

6.2 空间向量的概念及其线性运算 256

2.1 空间向量的概念 257

2.2 向量的加减法 258

2.3 向量的数乘 259

2.4 向量的坐标表示 261

2.5 向量的模与方向余弦的计算公式 263

习题6.2 265

6.3 向量的乘积 266

3.1 两向量的数量积 266

3.2 三阶行列式 268

3.3 两向量的向量积 268

3.4 三向量的混合积 272

3.5 三向量的向量积 274

习题6.3 275

6.4 平面及其方程 276

4.1 平面的点法式方程与一般方程 276

4.2 点到平面的距离 279

4.3 平面图形的画法 280

习题6.4 282

6.5 空间直线及其方程 284

5.1 空间直线的方程 284

5.2 两直线、两平面及直线与平面的夹角 287

5.3 平面束 289

习题6.5 290

6.6 曲面及其方程 292

6.1 曲面的一般方程与参数方程 293

6.2 柱面 295

6.3 旋转曲面 297

习题6.6 299

6.7 空间曲线及其方程 300

7.1 曲线的一般方程与参数方程 300

7.2 曲线在坐标面上的投影 301

7.3 曲线的一般方程与参数方程的互化 302

习题6.7 304

6.8 二次曲面的方程 304

8.1 椭球面 305

8.2 抛物面 306

8.3 双曲面 307

8.4 直纹面 309

习题6.8 309

附录 高等数学的理论、方法与习题再讨论 311

1 函数、极限、连续 311

1.1 理论与方法讨论 311

1 本书关于函数、极限、连续有什么特点？ 311

2 函数的现代定义是如何表述的？ 311

3 函数一节的重点是什么？ 312

4 若极限？(x)存在且极限？(x)不存在，问极限？［f(x)±g(x)］与？(x)g(x)是否存在？ 312

5 如何用ε-δ语言表述极限？(x)≠B？ 312

6 较一般的复合函数求极限的定理是什么？ 313

7 若角x用一周等于360度的度作单位，则？等于多少？ 313

8 符号“о”、“～”、“О”的一般含义是什么？ 313

10 符号“о”与“О”参加运算时，是否有交换律与传递律？ 314

9 о(u)的运算性质是什么？ 314

1.2 习题选解、提示与补充举例 315

2 一元函数微分学 317

2.1 理论与方法讨论 317

1 第二章导数与微分的要点是什么？ 317

2 本书中值定理与导数的应用一章有什么特点？ 318

3 函数f在点α可导,是否在α点的某邻域上连续？ 318

4 分段函数在分界点上单侧导数的求法 319

5 带皮亚诺余项的泰勒公式 319

6 用导数证明不等式的方法 321

2.2 习题选解、提示与补充举例 322

3 一元函数积分学 326

3.1 理论与方法讨论 326

1 本书一元函数积分学有什么特点？ 326

2 牛顿-莱布尼兹公式的其他形式 326

4 奇偶函数在对称区间上不定积分的性质 328

3 原函数与不定积分在概念上要注意什么？ 328

5 不定积分两种换元积分法的关系 329

6 分段函数原函数的求法 329

7 改进的第一积分中值公式 330

8 改进的第一积分中值公式的一个应用是否正确？ 331

9 在闭区间上连续或逐段连续的函数，其定积分存在的简单证明 332

3.2 习题选解、提示与补充举例 335

4 空间解析几何 338

理论与方法讨论 338

1 向量的运算与运算中的注意点 338

2 两向量间垂直与平行的充要条件 338

3 向量的点乘有哪些用处？ 338

4 两直线共面的充要条件 339

5 两直线的距离公式 339

答案 340