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绪论 1

第1章 实数集与函数 5

1.1实数 5

1.1.1实数及其性质 5

1.1.2绝对值与不等式 7

习题1.1 9

1.2数集与确界 10

1.2.1数集 10

1.2.2确界及确界原理 13

习题1.2 16

1.3函数及其运算 16

1.3.1函数的定义 16

1.3.2函数的表示法 17

1.3.3函数的运算 19

习题1.3 20

1.4函数的某些性质与初等函数 21

1.4.1初等性质 21

1.4.2初等函数 23

习题1.4 26

总练习题1 27

第2章 数列极限 30

2.1数列极限的概念 30

2.1.1数列极限的定义 30

2.1.2数列发散的定义 33

2.1.3无穷小数列 34

习题2.1 35

2.2收敛数列的性质 36

2.2.1收敛数列的一般性质 36

2.2.2收敛数列的四则运算 38

2.2.3数列与其子列的关系 39

习题2.2 40

2.3数列极限存在的条件 41

2.3.1单调有界定理 41

2.3.2柯西收敛准则 44

习题2.3 45

总练习题2 46

第3章 函数极限 49

3.1函数极限的概念 49

3.1.1函数在无穷远处的极限 49

3.1.2函数在某一点x0处的极限 51

3.1.3单侧极限 52

习题3.1 54

3.2函数极限的性质 54

3.2.1函数极限的一般性质 55

3.2.2函数极限的四则运算 56

习题3.2 57

3.3函数极限的几个命题 58

3.3.1函数极限的法则 58

3.3.2海涅定理与柯西收敛准则 60

习题3.3 61

3.4两个重要的极限 62

3.4.1 limx→∞（1+1/x）x=e 62

3.4.2 limx→0sinx/x=1 64

习题3.4 65

3.5无穷小量与无穷大量 66

3.5.1无穷小量 66

3.5.2无穷小量的比较 66

3.5.3无穷大量 68

3.5.4曲线的渐近线 69

习题3.5 71

总练习题3 72

第4章 连续函数 75

4.1连续函数的概念 75

4.1.1函数在一点的连续性 76

4.1.2单侧连续性 77

4.1.3间断及其分类 78

4.1.4函数在区间上的连续性 79

习题4.1 80

4.2连续函数的性质 81

4.2.1连续函数的局部性质 81

4.2.2闭区间上连续函数的基本性质 82

4.2.3反函数的连续性 84

4.2.4一致连续性 84

习题4.2 86

4.3初等函数的连续性 87

习题4.3 89

总练习题4 90

第5章 导数与微分 93

5.1导数的概念 93

5.1.1导数的引入 93

5.1.2导数的定义 94

5.1.3单侧导数 94

5.1.4导数与连续的关系 95

5.1.5导函数 95

5.1.6导数的几何解释 97

5.1.7极值 98

习题5.1 98

5.2求导法则 100

5.2.1导数的四则运算 100

5.2.2反函数求导法 101

5.2.3复合函数求导法 102

5.2.4基本求导法则与求导公式 103

习题5.2 104

5.3隐函数求导与参变量函数的求导 106

5.3.1隐函数的概念 106

5.3.2隐函数求导法 107

5.3.3对数求导法 107

5.3.4参变量函数的求导 108

习题5.3 109

5.4微分 110

5.4.1微分的概念 110

5.4.2微分与导数的关系 111

5.4.3微分的几何解释 111

5.4.4微分的计算 112

5.4.5拓广 112

5.4.6近似计算中的应用 112

习题5.4 114

5.5高阶导数与高阶微分 114

5.5.1高阶导数 114

5.5.2高阶微分 117

习题5.5 117

5.6曲率 118

5.6.1弧微分 118

5.6.2曲率 119

5.6.3曲率圆与曲率半径、曲率中心 121

习题5.6 122

总练习题5 123

第6章 微分中值定理及其应用 126

6.1拉格朗日中值定理和函数的单调性 126

6.1.1罗尔定理 126

6.1.2拉格朗日中值定理 127

6.1.3单调函数 128

6.1.4应用 129

习题6.1 130

6.2柯西中值定理与不定式 131

6.2.1柯西中值定理 131

6.2.2不定式的极限 132

习题6.2 136

6.3泰勒公式及其应用 137

6.3.1泰勒公式 137

6.3.2几个初等函数的麦克劳林公式 138

6.3.3应用 139

习题6.3 142

6.4函数的极值与最值 142

6.4.1极值 142

6.4.2最值 144

习题6.4 145

6.5函数的凹性及拐点 146

6.5.1凹性概念 146

6.5.2拐点 149

6.5.3应用 149

习题6.5 150

6.6函数的作图 151

习题6.6 153

总练习题6 154

第7章 实数的完备性 157

7.1实数完备性的基本定理 157

习题7.1 161

7.2闭区间上连续函数性质的证明 162

习题7.2 165

总练习题7 165

第8章 不定积分 167

8.1不定积分的概念与基本积分公式 167

8.1.1原函数与不定积分 167

8.1.2不定积分与微分的关系 168

8.1.3不定积分的线性性质 170

习题8.1 171

8.2换元积分法与分部积分法 171

8.2.1换元法 171

8.2.2分部积分法 175

习题8.2 177

8.3有理函数的不定积分 179

8.3.1部分分式 179

8.3.2部分分式的不定积分 180

习题8.3 183

8.4三角有理式的不定积分 183

8.4.1万能替换 183

8.4.2特殊替换 184

习题8.4 186

8.5简单无理根式的不定积分 186

8.5.1 ∫R（x，n？ax+b/cx+d）dx（ad—bc≠0）型 187

8.5.2 ∫R（x，？ax2+bx+c）dx型 187

习题8.5 189

总练习题8 190

第9章 定积分 193

9.1定积分的概念 193

9.1.1问题的提出 193

9.1.2定积分的定义 194

9.1.3定积分的几何意义 195

习题9.1 196

9.2可积条件 197

9.2.1可积的必要条件 197

9.2.2可积的充分必要条件 198

9.2.3可积函数类 199

习题9.2 201

9.3定积分的性质 202

9.3.1基本性质 202

9.3.2积分中值定理 205

习题9.3 206

9.4微积分学基本定理 207

9.4.1上限函数 207

9.4.2微积分基本定理 208

9.4.3牛顿-莱布尼茨公式的另一种证明 209

9.4.4实例 212

9.4.5积分第二中值定理 212

习题9.4 215

9.5分部积分法与换元积分法 216

9.5.1分部积分法 216

9.5.2换元积分法 217

9.5.3积分型余项 219

习题9.5 220

9.6可积理论补叙 222

9.6.1大和与小和的性质 222

9.6.2可积的充分必要条件 223

习题9.6 224

总练习题9 225

第10章 定积分的应用 229

10.1平面图形的面积 229

10.1.1微元法 229

10.1.2在直角坐标系下平面图形的面积 229

10.1.3参数函数的面积公式 231

10.1.4极坐标系下的面积公式 231

习题10.1 232

10.2求体积 233

10.2.1已知截面面积求体积 233

10.2.2旋转体的体积 234

习题10.2 236

10.3平面曲线的弧长 237

10.3.1曲线由直角坐标系给出 237

10.3.2曲线由参数式给出 238

10.3.3曲线由极坐标给出 240

习题10.3 240

10.4旋转面的面积 241

10.4.1曲线由直角坐标系给出 241

10.4.2曲线由参数式给出 242

10.4.3曲线由极坐标给出 242

习题10.4 243

10.5定积分在物理学中的某些应用 243

10.5.1液体静压力 243

10.5.2引力 244

10.5.3功与平均功率 245

习题10.5 246

10.6定积分的近似计算 246

10.6.1矩形法 246

10.6.2梯形法 247

10.6.3抛物线法 248

10.6.4抛物线法的应用 249

习题10.6 250

总练习题10 250

附录A 不定积分表 252

附录B 希腊字母表 260