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上册 1

绪论 1

一、CFD的诞生与发展 1

二、CFD的研究现状 3

参考文献 5

第1章 偏微分方程有限差分方法的基本概念 6

1.1 物理问题的适定性 6

1.1.1 泛定方程及其定解条件 6

1.1.2 物理问题的适定性 6

1.2 Banach空间内适定问题的提法和基本收敛定理 11

1.2.1 Banach空间内适定性平衡问题的提法 11

1.2.2 关于算子序列Tm的基本收敛定理 11

1.2.3 Banach空间内适定性初值问题的提法 12

1.2.4 广义算子和广义解 13

1.2.5 等价范数定理 14

1.3 有限差分方法 14

1.3.1 物理问题有限差分的一般表达式 14

1.3.2 差分格式的相容性和截断误差 16

1.3.3 古典差分格式的生成方法 16

1.3.4 差分解的收敛性 21

1.3.5 差分解的稳定性 21

1.4 Lax等价定理及推论 22

1.4.1 Lax等价定理 22

1.4.2 Lax等价定理的推论 23

1.4.3 关于Lax等价定理的说明 24

1.5 差分方程微扰系统的稳定性 25

参考文献 26

第2章 差分格式的稳定性以及差分解的耗散和弥散 27

2.1 Von Neumann稳定性条件和CFL准则 27

2.1.1 Fourier级数和Fourier积分 27

2.1.2 放大矩阵和有限差分方程的精度阶数 29

2.1.3 稳定性和von Neumann条件 30

2.1.4 CFL准则 32

2.2 Kreiss矩阵定理和更进一步的稳定性充分条件 35

2.2.1 Kreiss矩阵定理 35

2.2.2 更进一步的稳定性充分条件 36

2.3 关于变系数线性方程和非线性问题稳定性的讨论 39

2.3.1 变系数线性方程的“局部”稳定性 39

2.3.2 非线性双曲型问题的讨论 41

2.4 耗散和弥散 44

2.4.1 物理问题的耗散和弥散 44

2.4.2 差分方程的耗散和弥散 48

2.4.3 关于数值耗散和弥散的进一步讨论 51

2.4.4 常用差分格式 53

参考文献 57

第3章 可压缩流体动力学基本方程组及其特征 58

3.1 可压缩流体动力学基本方程组 58

3.1.1 可压缩流体动力学基本方程组 58

3.1.2 方程组的封闭 61

3.1.3 Euler方程组 61

3.1.4 一般曲线坐标系中的可压缩流体力学基本方程组 62

3.1.5 一般曲线坐标系中的薄层N-S方程 64

3.2 拟线性偏微分方程组的特征 65

3.2.1 特征的定义 65

3.2.2 特征的数学和物理意义 66

3.2.3 特殊情况下确定特征的方法 70

3.3 可压缩流体动力学方程组的特征 71

3.3.1 基本方程组的主特征 71

3.3.2 基本方程组的子特征 74

3.3.3 基本方程组定解条件 75

3.3.4 定常可压缩流动方程组的特征 75

3.3.5 一维非定常Euler方程组定解条件 78

3.4 工程中湍流数值模拟的控制方程 79

3.4.1 Reynolds应力方程模式 79

3.4.2 Boussinesq假设和此假设下的湍流平均量基本方程 82

3.4.3 一方程模式 84

3.4.4 二方程模式 86

3.4.5 湍流／转捩模式 88

3.4.6 一般贴体坐标中的k-ε二方程模式 95

3.5 旋转坐标系中的控制方程 96

参考文献 97

第4章 结构网格生成方法 99

4.1 飞行器外形的人工输入和非均匀有理B样条 100

4.1.1 飞行器外形输入 101

4.1.2 Coons曲面 102

4.1.3 Bezier曲线和B样条曲线 104

4.1.4 非均匀有理B样条（NURBS） 108

4.1.5 B样条曲面和NURBS曲面 110

4.2 单域的代数网格生成方法 111

4.2.1 分布函数 111

4.2.2 Lagrange插值和Hermit插值 113

4.2.3 二维超穷插值 114

4.2.4 二维投影算子π 115

4.2.5 三维超穷插值 116

4.2.6 多面方法（Multisurface Method） 118

4.3 微分方程数值解的网格生成方法 123

4.3.1 椭圆方程数值解网格生成方法原理（Thompson） 123

4.3.2 椭圆型微分方程网格生成方法 125

4.3.3 控制函数的设定 130

4.3.4 双曲型微分方程网格生成方法简介 137

4.4 网格的生成策略和拓扑结构 141

4.4.1 网格的生成策略 141

4.4.2 网格的拓扑结构 141

4.4.3 网格生成中奇性 146

4.5 分域解耦方法 148

4.5.1 组合分块网格 149

4.5.2 对接网格 152

4.5.3 重叠网格 154

参考文献 159

第5章 无黏可压缩流中的间断解 163

5.1 双曲型方程的弱解 163

5.1.1 双曲型方程解的间断 163

5.1.2 双曲型标量方程的弱解 165

5.1.3 双曲型向量方程的弱解 169

5.2 物理解（广义解） 169

5.2.1 Oleinik熵条件 170

5.2.2 Burgers方程的极限解 173

5.2.3 Lax的熵条件 176

5.2.4 熵条件和热力学第二定律 177

5.3 守恒型差分格式 178

5.4 激波装配法 181

5.5 含人工黏性的激波捕获法 183

5.5.1 Von Neumann人工黏性 184

5.5.2 Jameson等人的人工黏性 184

5.5.3 Beam-Warming格式 186

参考文献 189

第6章 Riemann问题和单调差分格式 191

6.1 单调差分格式 191

6.1.1 守恒律ut+fx(u)=0解的单调性 191

6.1.2 单调守恒差分格式的收敛特性 192

6.1.3 守恒律的迎风格式 196

6.2 Riemann问题及其精确解 201

6.2.1 Lagrange线化方程的Riemann问题 201

6.2.2 一维气体动力学（Euler方程）的Riemann问题 202

6.3 捕获间断解的Godunov方法 209

6.3.1 Lagrange线化方程的Godunov格式 209

6.3.2 一维气体动力学Euler方程的Godunov方法 210

6.3.3 随机选取方法简介 212

6.4 高阶Godunov方法 214

6.4.1 MUSCL方法 214

6.4.2 基于广义Riemann问题的差分格式 219

6.4.3 分片抛化方法（PPM）简介 221

参考文献 223

第7章 分裂方法 225

7.1 时间分裂的多步方法 225

7.1.1 简单分裂方法 226

7.1.2 空间按维分裂方法 226

7.1.3 算子分裂方法 229

7.1.4 加权格式和预估校正方法 230

7.1.5 交替方向的隐式（ADI）方法 232

7.1.6 对角化隐式算法 234

7.2 通量向量分裂方法 236

7.2.1 系数矩阵分裂法 236

7.2.2 Steger-Waming的通量向量分裂方法 237

7.2.3 van Leer的通量向量分裂方法 239

7.2.4 隐式LU分解格式 241

7.3 差分分裂方法 245

7.3.1 近似Riemann问题 245

7.3.2 Roe的差分分裂方法 246

7.3.3 Osher的差分分裂方法 249

7.4 AUSM格式 252

7.4.1 AUSM＋格式 253

7.4.2 AUSM+-up格式 254

参考文献 255

附录 下册主要章节目录 258