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第一章 极限与连续 1

第一节 函数的概念 2

一、函数的概念 2

二、函数的几种特性 6

三、反函数 8

四、基本初等函数与复合函数 8

五、函数关系建立 10

解题训练1-1 12

第二节 极限的概念 13

一、数列的极限 13

二、函数的极限 15

三、无穷大量和无穷小量 19

解题训练1-2 20

第三节 极限的运算 21

一、极限四则运算法则 21

二、两个重要极限 23

三、无穷小的性质与无穷小的比较 26

解题训练1-3 28

第四节 函数的连续性与间断点 28

一、函数连续的概念 29

二、函数的间断点及其分类 30

三、初等函数的连续性 31

四、闭区间上连续函数的性质 32

解题训练1-4 33

第五节 Mathematica软件实验一 33

一、软件简介 33

二、函数 34

三、基本操作 34

四、用Mathematica求极限举例 36

第六节 数学文化【1】 37

一、杰出的数学家刘徽 37

二、杰出的数学家欧拉 38

三、数学趣题二例 40

本章小结 41

单元测试题一 42

第二章 导数与微分 45

第一节 导数的概念 46

一、引出导数概念的两个实例 46

二、导数的定义 48

三、求导数举例 49

四、导数的几何意义 50

五、可导与连续的关系 52

解题训练2-1 52

第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 52

解题训练2-2 54

第三节 复合函数的求导法则 54

一、复合函数的导数 54

二、隐函数的导数 58

解题训练2-3 59

第四节 高阶导数 59

一、高阶导数 59

二、初等函数的求导公式 62

解题训练2-4 62

第五节 微分及其应用 63

一、微分的概念 63

二、微分的几何意义 64

三、微分基本公式与微分的运算法则 64

四、微分在近似计算中的应用 67

解题训练2-5 68

第六节 函数单调性的判定与极值 69

一、函数单调性的判定 69

二、函数的极值 71

三、函数的最大值和最小值 73

解题训练2-6 76

第七节 导数的应用举例 76

解题训练2-7 80

第八节 Mathematica软件实验二 81

第九节 数学文化【2】 82

一、杰出的数学家华罗庚 82

二、杰出的数学家柯西 83

三、数学趣题二例 84

本章小结 85

单元测试题二 86

第三章 不定积分 88

第一节 不定积分的概念与性质 89

一、不定积分的概念 89

二、基本积分公式 91

三、不定积分的几何意义 92

解题训练3-1 92

第二节 不定积分的直接积分法 93

解题训练3-2 94

第三节 不定积分的换元积分法 95

一、第一类换元积分法 95

二、第二类换元积分法 98

解题训练3-3 101

第四节 不定积分的分部积分法 102

解题训练3-4 104

第五节 Mathematica软件实验三 104

一、用Mathematica求不定积分 104

二、用Mathematica求不定积分举例 104

第六节 数学文化【3】 105

一、杰出的数学家陈景润 105

二、杰出的数学家牛顿 106

三、数学趣题二例 108

本章小结 110

单元测试题三 112

第四章 定积分及其应用 115

第一节 定积分的概念与性质 116

一、定积分的概念 116

二、定积分的几何意义 120

三、定积分的性质 121

解题训练4-1 123

第二节 牛顿-莱布尼茨公式 123

解题训练4-2 126

第三节 定积分的积分法 127

一、定积分的换元积分法 127

二、定积分的分部积分法 129

解题训练4-3 130

第四节 定积分的应用 131

一、定积分在几何上的应用 131

二、定积分在物理上的应用 133

三、定积分在经济上的应用 134

解题训练4-4 135

第五节 Mathematica软件实验四 135

一、用Mathematica求定积分 135

二、用Mathematica求定积分举例 136

三、用Mathematica计算相关定积分应用问题 136

第六节 数学文化【4】 137

一、杰出的数学家祖冲之 137

二、杰出的数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 138

三、数学趣题二例 139

本章小结 140

单元测试题四 143

第五章 微分方程 146

第一节 可分离变量的一阶微分方程 147

一、微分方程的基本概念 147

二、可分离变量的一阶微分方程 150

三、一阶齐次微分方程 153

解题训练5-1 156

第二节 一阶线性微分方程 157

一、一阶线性齐次微分方程 157

二、一阶线性非齐次微分方程 161

解题训练5-2 167

第三节 可降阶的高阶微分方程 168

一、y(n)=f（x）型的微分方程 168

二、y"=f（x,y'）型的微分方程 169

三、y"=f（y,y'）型的微分方程 171

解题训练5-3 172

第四节 二阶线性微分方程解的结构 173

一、二阶线性齐次微分方程解的结构 173

二、二阶线性非齐次微分方程解的结构 175

解题训练5-4 176

第五节 二阶线性常系数齐次微分方程 176

一、二阶线性常系数齐次微分方程的特征方程和特征根 176

二、二阶线性常系数齐次微分方程的通解 177

解题训练5-5 181

第六节 二阶线性常系数非齐次微分方程 181

一、f(x)=Pm(x)eλe型的二阶线性常系数非齐次微分方程 181

二、f(x)=eαx［Pl(x)CoSβx+？n(x)sinβ］型的二阶线性常系数非齐次微分方程 185

解题训练5-6 187

第七节 Mathematica软件实验五 188

第八节 数学文化【5】 188

一、杰出的数学家苏步青 188

二、杰出的数学家雅各布伯努利 190

三、数学趣题二例 191

本章小结 193

单元测试题五 194

附录Ⅰ 预备知识 196

第一节 实数 197

一、实数的概念 197

二、数轴与绝对值 197

解题训练附录Ⅰ-1 198

第二节 方程 198

一、方程的基本概念 198

二、一元一次方程 199

三、一元二次方程 199

四、平面直角坐标系 200

解题训练附录Ⅰ-2 200

第三节 不等式 200

一、不等式的基本概念 200

二、一元一次不等式 201

三、一元二次不等式 202

解题训练附录Ⅰ-3 202

第四节 集合 203

一、集合的概念 203

二、集合之间的关系 204

三、区间 204

解题训练附录Ⅰ-4 204

第五节 三角函数 205

一、三角函数的定义和基本关系式 205

二、三角函数的诱导公式、加法定理及其推论 206

第六节 数列 207

一、数列的概念 207

二、两个特殊的数列 208

解题训练附录Ⅰ-6 209

第七节 高等数学的重要性和学习方法 210

一、高等数学的重要地位 210

二、高等数学的教学特点 210

三、学习高等数学要有自信心 210

四、注意抓好学习的“五部曲” 211

第八节 数学文化【6】 212

一、杰出的数学家陈省身 212

二、杰出的数学家高斯 213

附录Ⅱ 常用基本初等函数的图像和性质 216

附录Ⅲ 初等数学常用公式 221

附录Ⅳ 简易积分表 224

解题训练及单元测试题参考答案 233

主要参考文献 244