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公共基础模块 1

第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数的概念与性质 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的性质 4

1.1.3 分段函数 6

1.1.4 反函数 7

习题1.1 8

1.2 初等函数 9

1.2.1 基本初等函数 9

1.2.2 复合函数 13

1.2.3 初等函数 15

习题1.2 15

1.3 由方程所确定的函数——隐函数 15

1.3.1 由方程确定的隐函数 15

1.3.2 由参数方程所确定的函数 16

1.3.3 函数关系的建立 16

习题1.3 17

1.4 极限 18

1.4.1 极限的介绍 18

1.4.2 数列的极限 19

1.4.3 函数的极限 19

1.4.4 极限的运算法则 24

习题1.4 26

1.5 无穷小量和无穷大量 26

1.5.1 无穷小量 26

1.5.2 无穷大量 27

1.5.3 无穷小量的比较 28

习题1.5 29

1.6 两个重要极限 29

1.6.1 第一重要极限：lim x→0 sin x/x=1 29

1.6.2 第二重要极限：lim x→∞（1+1/x）=e 31

习题1.6 32

1.7 函数的连续性 32

1.7.1 函数连续性的概念 32

1.7.2 函数的间断点 34

1.7.3 闭区间上连续函数的性质 35

习题1.7 36

知识拓展 微积分的产生 36

第1章 自测题A（基础层次） 38

第1章 自测题B（提高层次） 38

第2章 导数和微分 41

2.1 导数的概念 41

2.1.1 导数的定义 41

2.1.2 导数的几何意义 45

习题2.1 46

2.2 导数的计算 46

2.2.1 导数的基本公式 46

2.2.2 导数的四则运算法则 47

2.2.3 复合函数的导数 48

2.2.4 隐函数的导数 49

2.2.5 由参数方程确定的函数的导数 49

2.2.6 高阶导数 51

习题2.2 52

2.3 函数的微分 53

2.3.1 微分的概念 53

2.3.2 微分的几何意义 54

2.3.3 微分的基本公式及运算法则 54

2.3.4 微分在近似计算中的应用 56

习题2.3 57

知识拓展 利用Mathematica软件提高问题求解能力 58

第2章 自测题A（基础层次） 59

第2章 自测题B（提高层次） 59

第3章 导数的应用 60

3.1 拉格朗日中值定理 60

3.1.1 拉格朗日中值定理 60

3.1.2 洛必达法则 62

习题3.1 63

3.2 函数的单调性与凹凸性 64

3.2.1 函数的单调性 64

3.2.2 函数的凹凸性与拐点 65

习题3.2 66

3.3 函数的极值与函数的最值及应用 66

3.3.1 函数的极值 66

3.3.2 函数的最值及应用 68

习题3.3 69

知识拓展 利用最值 70

第3章 自测题A（基础层次） 70

第3章 自测题B（提高层次） 71

第4章 不定积分 72

4.1 不定积分的概念与性质 72

4.1.1 原函数与不定积分 72

4.1.2 不定积分的性质 73

4.1.3 不定积分的几何意义 74

4.1.4 基本积分公式与直接积分法 75

习题4.1 76

4.2 换元积分法 77

4.2.1 第一类换元积分法 77

4.2.2 第二类换元积分法 80

习题4.2 82

4.3 分部积分法 83

4.3.1 分部积分法 83

4.3.2 分部积分公式的使用技巧 84

习题4.3 86

知识拓展 有理函数的不定积分 86

第4章 自测题A（基础层次） 88

第4章 自测题B（提高层次） 89

第5章 定积分及其应用 92

5.1 定积分的概念与性质 92

5.1.1 定积分的概念 92

5.1.2 定积分的性质 95

5.1.3 定积分的几何意义 96

习题5.1 97

5.2 定积分的基本公式 97

5.2.1 原函数存在定理 97

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 99

习题5.2 100

5.3 定积分的计算 100

5.3.1 定积分直接积分法 100

5.3.2 定积分换元积分法 101

5.3.3 定积分分部积分法 104

习题5.3 105

5.4 反常积分与定积分的应用 106

5.4.1 无穷区间上的反常积分 106

5.4.2 微元法 108

5.4.3 定积分的几何应用 108

5.4.4 定积分的物理应用 113

5.4.5 定积分的经济应用 114

习题5.4 116

知识拓展 瑕积分 117

第5章 自测题A（基础层次） 118

第5章 自测题B（提高层次） 120

专业基础模块 123

第6章 常微分方程 123

6.1 微分方程的基本概念 123

6.1.1 微分方程的概念 123

6.1.2 微分方程的解与通解 125

6.1.3 初始条件与特解 126

习题6.1 127

6.2 一阶微分方程 128

6.2.1 可分离变量的微分方程 128

6.2.2 齐次型微分方程 131

6.2.3 一阶线性微分方程 133

习题6.2 136

6.3 微分方程的应用 137

6.3.1 冷却问题 137

6.3.2 衰变问题 138

6.3.3 动力学问题 139

6.3.4 混合溶液的数学模型 139

习题6.3 140

知识拓展 马尔萨斯（Malthus）模型 141

第6章 自测题A（基础层次） 143

第6章 自测题B（提高层次） 144

第7章 矩阵 145

7.1 矩阵的概念及运算 145

7.1.1 矩阵的概念 145

7.1.2 矩阵的运算 149

习题7.1 155

7.2 矩阵的初等变换与矩阵的秩 156

7.2.1 矩阵的初等变换 156

7.2.2 矩阵的秩 161

习题7.2 162

7.3 矩阵的逆 162

习题7.3 166

知识拓展 矩阵密码问题 167

第7章 自测题A（基础层次） 168

第7章 自测题B（提高层次） 169

第8章 线性方程组 171

8.1 线性方程组的解法 171

8.1.1 消元法解线性方程组的实质 171

8.1.2 线性方程组的矩阵形式 172

8.1.3 线性方程组有解的充要条件 172

习题8.1 174

8.2 非齐次线性方程组 174

习题8.2 177

8.3 齐次线性方程组 177

习题8.3 179

知识拓展 列昂惕夫“投入—产出”模型 179

第8章 自测题A（基础层次） 180

第8章 自测题B（提高层次） 182

第9章 概率论 183

9.1 随机事件 183

9.1.1 随机现象 183

9.1.2 随机试验与样本空间 184

9.1.3 随机事件及事件间关系 185

习题9.1 188

9.2 随机事件及概率 188

9.2.1 随机事件的频率与概率 188

9.2.2 古典概型 189

9.2.3 加法公式 191

习题9.2 192

9.3 条件概率与全概率公式 192

9.3.1 条件概率 192

9.3.2 乘法公式 193

9.3.3 全概率公式 194

习题9.3 195

9.4 事件的独立性 195

9.4.1 事件的独立性 195

9.4.2 伯努利（Bernoulli）试验 197

习题9.4 197

9.5 随机变量及其分布 198

9.5.1 随机变量的概念及分类 198

9.5.2 离散型随机变量及其概率分布 199

9.5.3 连续型随机变量及其概率密度 202

习题9.5 208

9.6 随机变量的数字特征 209

9.6.1 数学期望 209

9.6.2 方差 211

习题9.6 213

知识拓展 贝叶斯决策 214

第9章 自测题A（基础层次） 216

第9章 自测题B（提高层次） 218

第10章 数理统计初步 221

10.1 总体、样本和统计量 221

10.1.1 总体和样本 221

10.1.2 统计量及其分布 223

习题10.1 225

10.2 常用统计方法 225

10.2.1 参数估计 225

10.2.2 假设检验 228

习题10.2 231

知识拓展 常用统计软件简介 231

第10章 自测题A（基础层次） 233

第10章 自测题B（提高层次） 234

第11章 无穷级数 236

11.1 常数项级数 236

11.1.1 常数项级数的概念 236

11.1.2 常数项级数的基本性质 239

11.1.3 级数收敛的必要条件 239

习题11.1 240

11.2 常数项级数收敛的判别法 240

11.2.1 正项级数及其收敛性判别方法 240

11.2.2 交错级数及其收敛性判别方法 242

11.2.3 一般项数项级数及其收敛性 243

习题11.2 244

11.3 幂级数 244

11.3.1 幂级数及其收敛域 244

11.3.2 幂级数的运算性质 247

11.3.3 函数展开成幂级数 249

习题11.3 251

11.4 级数的应用 251

习题11.4 252

知识拓展 “数学中的天桥”——欧拉公式 253

第11章 自测题A（基础层次） 253

第11章 自测题B（提高层次） 254

专业应用模块 257

案例一：图形制作（多媒体专业） 257

案例二：非线性交调的频率设计问题（电子类专业） 270

案例三：飞行管理问题（经管类专业） 274

附录A Mathematica系统使用入门 279

A1.1 Mathematica系统简介 279

A1.2 Mathematica系统使用入门 279

A1.2.1 系统的算术运算 279

A1.2.2 代数式与代数运算 280

A1.2.3 变量与函数 281

A1.2.4 Mathematica的绘图 283

A1.3 Mathematica的微积分命令 284

A1.3.1 极限命令Limit 284

A1.3.2 导数与微分命令 284

A1.3.3 求积分命令 285

A1.4 矩阵运算与方程组求解 286

A1.4.1 矩阵运算 286

A1.4.2 方程组求解 288

A1.5 级数与幂级数展开 289

A1.6 关于求解常微分方程 290

附录B 初等数学基本公式 291

B1.1 乘法与因式分解公式 291

B1.2 一元二次方程 291

B1.3 指数公式 291

B1.4 对数公式 291

B1.5 绝对值和不等式 292

B1.6 三角公式 292

B1.6.1 同角三角函数的基本公式 292

B1.6.2 两角和与两角差的三角函数公式 292

B1.6.3 二倍角公式 293

B1.6.4 和差化积公式 293

B1.6.5 积化和差公式 293

B1.6.6 三角函数的诱导公式 293

B1.6.7 特殊角的三角函数值 294

B1.7 数列的前n项和公式 294

B1.8 排列数和组合数公式、二项式定理 294

附录C 标准正态分布表 296

附录D 泊松分布数值表 297

附录E t分布数值表 300

附录F x2分布数值表 302

习题参考答案 305

参考文献 327