微分几何讲义 修订版PDF电子书下载

第一章 矢函数 1

1 矢代数复习 1

2 直线和平面复习 5

3 纯量变数的矢函数与曲线的参数表示 7

4 矢函数的极限．连续性 9

5 矢函数的微导．曲线的切线 11

6 几种具有特殊性质的矢函数 14

7 关于矢函数的泰勒公式 16

8矢函数的积分 18

第二章 曲线的基本三棱形 20

1 切线和法面．寻常点 20

2 密切面与副法线 22

3 主法线和从切面．基本三棱形 25

4 弧长 26

5 自然参数．基本矢 30

6 曲线间的切触阶 32

7 曲线和平面间的切触阶 34

结束语 36

第三章 空间曲线论的基本公式 38

1 基本公式的推导 38

2 曲率 44

3 挠率 46

4 曲线在一点邻近的结构 48

5 基本公式在运动学里的意义 53

6 密切圆 56

7 密切球面 57

8微分几何的任务.有关曲线的不变量 62

结束语 66

第四章 曲线论的基本定理 68

1 平面曲线论的基本公式 68

2 平面曲线的相对曲率 70

3 平面曲线论的基本定理 72

4 空间曲线论的基本定理 77

5 空间曲线论的唯一存在定理 79

6一般柱面螺线 83

7 贝特朗曲线 87

结束语 95

第五章 可展曲面初论 97

1 曲面的参数表示 97

2 曲面的寻常点 100

3 切面与法线 102

4 直纹面与可展曲面 104

5 可展曲面的分类 108

6 曲线的法线所构成的可展曲面 110

7 曲线的渐伸线与渐缩线 114

7.1 求一条曲线的渐伸线 114

7.2 求一条曲线的渐缩线 115

8 可展曲面作为单参数平面族的包络面 117

8.1 特征线与包络面 118

8.2 特征点与脊线 120

9 曲线的法面族 123

10 曲线的从切面族 124

结束语 126

第六章 曲面的第一基本齐式 128

1 第一基本齐式．曲面上曲线弧长 128

2 曲面上曲线的交角 130

3 曲面的面积 136

4 曲面的等距变换．曲面的内在性质 139

5 可展曲面在平面上的贴合 145

6 等角变换．等面变换 147

结束语 151

第七章 曲面上曲线的曲率．一些重要的曲线 153

1 第二基本齐式 153

2 法曲率 159

2.1 曲面上曲线的曲率 159

2.2 法曲率 160

2.3 默尼耶（Meusnier）定理 161

3 平面和球面的特征 162

4 主方向与主曲率 165

5 曲率线 169

6 关于三重正交曲面系的迪潘定理 171

7 欧拉公式 173

8 全曲率和中曲率．曲面在一点邻近形状的分析 175

9 中曲率为零的点．小积曲面举例 180

10 密切抛物面．迪潘标线 183

11 曲率线的特征 187

11.1 罗德里格斯（Rodrigues，1816）方程 187

11.2 曲率线的几何特征 188

11.3 约阿希姆斯塔尔（Joachimsthal，1846）定理 189

12 渐近曲线 193

13 可展曲面作为全曲率恒等于零的曲面 196

14 全曲率作为等距不变量．可展曲面作为可与平面贴合的曲面 198

15 共轭方向和共轭曲线网 201

16曲面的球面表示．第三基本齐式 204

结束语 209

第八章 曲面论的基本定理．曲面的内在几何 212

1 曲面论的基本公式 212

2 曲面论的基本方程 215

3 曲面论的基本定理 217

4 曲面论的唯一存在定理 220

5 短程曲率 223

5.1 短程曲率的定义 223

5.2 短程曲率的一个几何意义 224

5 3 短程曲率公式 225

5.4 曲面上一条曲线在平面上的伸展 226

6 短程线 228

6.1 短程线的一些最简单的性质和有关短程线的一些最直接的结论 228

6.2 短程线的微分方程 230

6.3 短程平行坐标 231

6.4 短程线作为曲面上两点的最短连线 233

7 短程挠率 235

7.1 短程线的挠率 235

7.2 短程挠率 236

7.3 曲面上曲线的一种动标三棱形 238

8 具有常数全曲率的曲面 239

9 具有常数全曲率的回转曲面 243

10 伪球面与伪球率曲面在平面上的等角表示 248

10.1 伪球面在平面上的表示 248

10.2 伪球率曲面在平面上的表示 250

10.3 伪球率曲面上的短程线 252

10.4 伪球率曲面上的短程圆 256

11 曲面上矢量的平移 259

12 可展曲面的又一特征．全曲率的一项几何意义 262

13 高斯-博内公式 267

结束语 272

附录Ⅰ 单参数曲面族 276

1 用方程F（x，y，z）=0表示的曲面 276

2 单参数曲面族的包络面．特征线 278

3 单参数曲面族的脊线．特征点 281

附录Ⅱ 复数的引进．从迷向矢到小积曲面 284

1 迷向矢 284

1.1 三维复空间 284

1.2 迷向矢．迷向直线．迷向平面 285

1.3 迷向锥面 286

1.4 迷向矢与全等变换 287

1.5 迷向矢与垂直概念 288

1.6 迷向矢的参数表示 289

2 迷向曲线 291

3 曲面上的迷向曲线 293

4 正方参数．等角变换 298

5 小积曲面 303

5.1 实小积曲面的显式表示 303

5.2 小积曲面作为平移曲面 305

5.3 复小积曲面的显式表示 307

5.4 复小积曲面里嵌有实小积曲面的条件 309

5.5 实小积曲面上的渐近曲线和曲率线 311

5.6 连带小积曲面和伴随小积曲面 313

附录Ⅲ 张量记法在曲面论中的运用 317

1 曲面论的基本公式 317

1.1 新记号的引进 317

1.2 高斯公式 319

1.3 魏因加滕公式 321

2 曲面论的基本方程 322

2.1 基本方程的推导 322

2.2 马伊纳尔迪-科达齐方程 323

2.3 高斯方程 324

3 曲面论的唯一存在定理 326

4 短程曲率与短程线 330

5 曲面上矢量的平移 331

6 曲面上的矢量和张量 332

附录Ⅳ 变分法中的两个命题 338

1 小积曲面的极小性质 338

2 短程线的极小性质 340

附录Ⅴ 关于微分方程组的几个定理 345

1 一阶线性齐次常微分方程组 345

2 含一个参变数的一阶线性齐次常微分方程组 348

3 一阶线性齐次偏微分方程组 351

人名和译名索引 357

内容索引 358