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第7章 常微分方程 1

本章学习目标 1

7.1 基本概念 1

习题7.1 2

7.2 一阶微分方程的解法 3

一、可分离变量方程 3

二、可化为变量分离方程的特殊类型 4

三、一阶线性微分方程 4

习题7.2 8

7.3 二阶常系数微分方程的解法 10

一、二阶线性微分方程解的结构 10

二、二阶常系数齐次线性微分方程 11

三、二阶常系数非齐次线性微分方程 13

习题7.3 16

7.4 微分方程的应用 18

一、几何问题 18

二、冷却问题 20

三、力学问题 21

本章小结 25

数学家简介——伯努利 27

第8章 无穷级数 28

本章学习目标 28

8.1 常数项级数 28

一、无穷级数的概念 28

二、无穷级数的基本性质 31

三、数项级数的判别法 32

习题8.1 37

8.2 幂级数 39

一、幂级数的概念 39

二、幂级数和幂级数的收敛区间 39

三、幂级数的性质 42

习题8.2 45

8.3 函数展成幂级数 46

一、泰勒公式和泰勒级数 46

二、某些初等函数的幂级数展开式 47

习题8.3 52

8.4 傅立叶级数 53

一、三角函数系和三角级数 53

二、傅立叶级数 53

三、正弦级数和余弦级数 56

习题8.4 60

本章小结 61

数学家简介——傅立叶 65

第9章 离散数学初步 66

本章学习目标 66

9.1 命题与联结词 66

一、命题的概念 66

二、复合命题与联结词 67

习题9.1 70

9.2 命题公式与赋值 71

一、合式公式的定义 71

二、公式的赋值 72

三、真值表 72

习题9.2 74

9.3 等值式与等值演算 75

一、等值式的概念 75

二、用真值表判断公式的等值 75

三、等值演算 75

习题9.3 78

9.4 范式 78

一、简单合取式和简单析取式 78

二、析取范式 79

三、主范式 79

习题9.4 82

9.5 代数结构初步 83

一、代数系统的概念 83

二、代数系统的运算及其性质 84

三、半群、含幺半群与群 88

习题9.5 91

9.6 图论初步 92

一、图的基本概念 92

二、顶点的度数与握手定理 94

三、图的同构、完全图与补图 95

四、通路与回路 98

五、图的矩阵表示 100

六、欧拉图、哈密尔顿图与树 104

习题9.6 110

本章小结 112

数学家简介——艾伦·麦席森·图灵 112

第10章 线性代数初步 114

本章学习目标 114

10.1 行列式 114

一、行列式的定义 115

二、行列式的性质 116

三、行列式的计算 118

四、克拉默法则 121

习题10.1 122

10.2 矩阵的概念及矩阵的运算 124

一、矩阵的概念 124

二、矩阵的运算 126

三、矩阵的初等变换 128

四、矩阵的秩 129

五、逆矩阵 130

习题10.2 132

10.3 线性方程组 133

一、线性方程组的基本概念和定理 133

二、齐次线性方程组解的结构 134

三、非齐次线性方程组的解的结构 136

习题10.3 137

本章小结 138

数学家简介——韦达 140

第11章 概率论初步 142

本章学习目标 142

11.1 随机事件和概率 142

一、随机事件 142

二、事件的关系和运算 143

三、事件的概率 145

习题11.1 148

11.2 概率的基本定理 149

一、加法定理 149

二、乘法定理 151

三、全概率公式和贝叶斯公式 153

习题11.2 154

11.3 随机变量 156

一、定义及概率分布 156

二、数学期望和方差 160

习题11.3 166

本章小结 168

数学家简介——贝叶斯 169

第12章 拉普拉斯变换 170

本章学习目标 170

12.1 拉普拉斯变换的基本概念 170

习题12.1 174

12.2 拉氏变换的性质 174

习题12.2 177

12.3 拉氏逆变换的性质 177

习题12.3 179

12.4 拉氏变换应用举例 179

习题12.4 181

本章小结 181

数学家简介——拉普拉斯 182

第13章 数学建模 184

全国大学生数学建模竞赛章程（2008年修订） 185

13.1 Matlab 7.0简介 187

一、Matlab 7.0的启动与工作界面 187

二、Matlab 7.0的帮助系统 187

三、基本赋值和运算 190

四、符号表达式的定义 191

13.2 用Matlab求解高等数学问题 193

一、用Matlab求极限 193

二、用Matlab求导数 194

三、用Matlab求积分 196

四、用Matlab求级数的和 197

五、用Matlab求函数的展开式 198

六、符号方程求解 199

七、微分方程求解 201

13.3 简单的优化模型 201

一、存贮模型 201

二、生猪的出售时机 205

三、森林救火 207

四、最优价格 209

五、血管分支 210

六、消费者均衡 212

七、冰山运输 214

13.4 数学规划模型 218

一、奶制品的生产与销售 218

二、自来水输送与货机装运 225

三、汽车生产与原油采购 230

四、接力队选拔和选课策略 236

五、饮料厂的生产与检修 242

六、钢管和易拉罐下料 246

13.5 稳定性模型 253

一、捕鱼业的持续收获 253

二、军备竞赛 255

三、种群的相互竞争 257

四、种群的相互依存 260

五、种群的弱肉强食（食饵—捕食者模型） 262

附录1 参考答案 268

附录2 基本求导法则与公式 285

附录3 常用积分公式 286