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第0章 整数，数域与多项式 1

0.1 集合，映射与运算 1

0.2 整数 6

0.3 数域 11

0.4 多项式与多项式函数 12

0.5 带余除法，余数定理和零点 因子定理 17

0.6 最大公因式与最小公倍式 18

0.7 因式分解与重因式 24

0.8 C,R和Q上的多项式 31

0.9 关于多项式的Fermat大定理的一个初等证明 36

习题0 40

上篇 线性方程组的一般理论问题 49

引言 线性方程组，消元解法及其在增广矩阵上的实现 49

习题 56

第1章 矩阵代数 58

1.1 矩阵代数 58

1.2 分块矩阵 64

1.3 矩阵的初等变换与等价标准形 71

习题1 74

第2章 一类特殊线性方程组的行列式法则（Cramer法则） 78

2.1 n阶（方阵的）行列式 78

2.2 行列式的基本性质（特别地，方阵代数与行列式）及其应用 81

2.3 线性方程组的Cramer法则 90

2.4 行列式的展开式 95

2.5 行列式的（一种）公理化定义 97

习题2 99

第3章 线性方程组的一般理论 105

3.1 n元向量的线性相关性与方程组的求解问题 105

3.2 矩阵的秩与方程组的求解问题 110

3.3 线性方程组的解的结构 117

习题3 127

第4章 线性空间与线性方程组 133

4.1 线性空间与其子空间 133

4.2 维数，基底，坐标与Cramer法则 137

4.3 坐标变换与Cramer法则 143

4.4 线性空间的同构与线性方程组理论的一个应用 148

4.5 线性方程组解集的几何结构 151

习题4 153

第5章 对称双线性度量空间与线性方程组 158

5.1 线性空间上的线性和双线性函数 158

5.2 对称双线性度量空间与线性方程组可解的几何解释 163

5.3 Euclid空间 166

5.4 向量到子空间的距离与线性方程组的最小二乘法 174

习题5 179

下篇 实二次型的主轴问题 185

引言 二次型主轴问题的几何原型 185

1 二次型的一般问题 186

2 从二次曲线讲起——实二次型主轴问题的几何原型 187

习题 193

第6章 线性空间上的线性变换 194

6.1 线性变换及其合成和矩阵表示 194

6.2 不变子空间，特征根与特征向量 204

6.3 特征多项式与最小多项式 208

6.4 Cayley-Hamilton定理的传统证明 221

习题6 222

第7章 线性空间关于线性变换的一类直和分解 230

7.1 线性映射（特别地，线性变换）的像与核 230

7.2 线性空间关于线性变换的一类直和分解 236

习题7 241

第8章 Euclid空间上的两类线性变换与二次型主轴问题 242

8.1 正交变换与对称变换 242

8.2 二次型的主轴问题 246

8.3 一个应用（将一对实二次型同时化简为平方和） 253

8.4 二次型的一般问题 259

习题8 276

第9章 引申——一般矩阵的（相似）标准形 280

9.1 λ矩阵及其等价标准形 280

9.2 λ矩阵的行列式因子，不变因子和初等因子 285

9.3 矩阵的相似与其特征矩阵的等价 289

9.4 矩阵的不变因子与nobenius（有理）标准形 292

9.5 矩阵的初等因子与Jacobson标准形（特例为Jordan标准形） 295

9.6 Jordan标准形的几何解释 302

习题9 304

参考文献 308

索引 309