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第一章 线性空间和线性映射 1

1.1 预备知识 1

1.2 线性空间 1

1.2.1 线性空间概念 1

1.2.2 向量的线性相关性 3

1.3 基与坐标、坐标变换 5

1.3.1 基与维数、坐标 5

1.3.2 基变换与坐标变换 6

1.4 线性子空间 8

1.4.1 线性子空间概念 8

1.4.2 子空间的交、和 9

1.4.3 子空间的直和、补子空间 10

1.5 线性映射 11

1.5.1 线性映射定义 11

1.5.2 线性映射的矩阵表示 12

1.6 线性映射的值域、核 16

1.7 线性变换的不变子空间 17

1.8 特征值和特征向量 20

1.8.1 线性变换的特征值和特征向量 20

1.8.2 特征值、特征向量的性质 22

1.9 矩阵的相似对角形 23

习题 24

第二章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形 27

2.1 λ-矩阵及标准形 27

2.1.1 λ-矩阵的基本概念 27

2.1.2 λ-矩阵的Smith标准形 29

2.1.3 Smith标准形的唯一性 30

2.2 初等因子与相似条件 32

2.2.1 初等因子 32

2.2.2 矩阵相似条件 34

2.3 矩阵的Jordan标准形 36

2.3.1 Jordan标准形 36

2.3.2 变换矩阵P 37

2.3.3 Jordan标准形的某些应用 40

2.4 Cayley-Hamilton定理与最小多项式 40

习题 43

第三章 分块矩阵 45

3.1 分块矩阵的初等变换 45

3.2 分块矩阵的行列式和逆 46

3.3 矩阵和的逆 48

3.4 矩阵乘积及矩阵和的秩 49

习题 50

第四章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵 53

4.1 内积空间 53

4.1.1 内积空间概念 53

4.1.2 酉（欧氏）空间的性质 54

4.1.3 酉（欧氏）空间的度量 55

4.2 标准正交基、Schmidt方法 56

4.3 酉变换、正交变换 58

4.4 Hermite矩阵、正规矩阵、Schur引理 60

4.5 正定二次齐式、正定Hermite矩阵 67

4.5.1 Hermite二次齐式、实二次齐式 67

4.5.2 正定二次齐式、正定Hermite矩阵 67

4.6 Rayleigh商 72

4.7 MATLAB在矩阵对角化中的应用 75

习题 77

第五章 矩阵分解 79

5.1 矩阵的满秩分解 79

5.2 矩阵的正交三角分解（UR分解、QR分解） 81

5.3 矩阵的奇异值分解 84

5.4 矩阵的极分解 87

5.5 矩阵的谱分解 89

5.6 n阶方阵的三角分解 96

5.7 利用MATLAB进行矩阵分解 99

5.7.1 满秩分解的MATLAB实现 99

5.7.2 正交三角分解（UR分解、QR分解）的MATLAB实现 100

5.7.3 奇异值分解的MATLAB实现 102

5.7.4 三角分解（LU分解）的MATLAB实现 102

习题 104

第六章 向量与矩阵范数 106

6.1 向量范数 106

6.2 矩阵范数 109

6.3 诱导范数（算子范数） 110

6.4 矩阵序列与极限 113

6.5 矩阵幂级数 114

6.6 利用MATLAB求解向量范数和矩阵范数 117

习题 117

第七章 矩阵函数 119

7.1 矩阵函数 119

7.2 矩阵函数的计算 120

7.2.1 矩阵A能够对角化的情形 120

7.2.2 矩阵A不能对角化的情形 121

7.2.3 Sylvester方法 122

7.3 矩阵指数函数与矩阵三角函数 123

7.4 利用MATLAB求解矩阵函数 125

习题 126

第八章 函数矩阵与矩阵微分方程 128

8.1 函数矩阵 128

8.2 函数矩阵对纯量的导数与积分 130

8.3 函数向量的线性相关性 133

8.4 函数矩阵在微分方程中的应用 136

8.4.1 一阶线性常系数齐次微分方程组的定解问题 136

8.4.2 一阶线性常系数非齐次微分方程组的定解问题 137

习题 139

第九章 矩阵的广义逆 141

9.1 广义逆矩阵 141

9.1.1 A-存在性及其求法 141

9.1.2 A-的性质 143

9.1.3 利用A-求相容线性方程组Ax＝b的解 145

9.2 自反广义逆 147

9.3 极小范数广义逆矩阵 148

9.3.1 A- m的存在性 148

9.3.2 利用A- m求相容线性方程组Ax＝b的解 149

9.4 最小二乘广义逆矩阵 150

9.4.1 A- l的存在性 150

9.4.2 利用A- l求不相容线性方程组Ax＝b的最小二乘解 151

9.5 伪逆矩阵 153

9.5.1 A+的存在性及求法 153

9.5.2 A+的性质 153

9.5.3 利用A+求不相容线性方程组Ax＝b的最佳最小二乘解 156

9.6 利用MATLAB求解矩阵的广义逆 156

习题 159

第十章 Kronecker积 160

10.1 Kronecker积的定义与性质 160

10.2 Kronecker积的特征值 163

10.3 Kronecker积的应用 164

习题 166

参考文献 168

习题精解 169