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第一章 Banach空间、Hilbert空间和度量空间 1

1.1 Banach空间 1

1.2 Hilbert空间 3

1.2.1 规范正交基 5

1.2.2 Hilbert空间上连续线性泛函 7

1.2.3 应用举例 8

1.3 度量空间 11

1.3.1 闭集套定理和Baire纲定理 11

1.3.2 度量空间中的紧集 16

1.3.3 Banach不动点定理 23

第二章 线性泛函 28

2.1 基本概念和例子 28

2.2 Hahn-Banach延拓定理 30

2.2.1 Hahn-Banach延拓定理 30

2.2.2 共轭算子 33

2.2.3 子空间和商空间的对偶 34

2.3 Hahn-Banach定理的几何形式——凸集分离定理 35

2.3.1 Minkowski泛函 35

2.3.2 凸集分离定理 35

2.4 弱拓扑和弱＊-拓扑 39

2.4.1 弱拓扑 42

2.4.2 弱＊-拓扑 44

2.4.3 Banach-Alaoglu定理 44

2.4.4 Stone-Weierstrass定理 48

第三章 线性算子的基本定理 51

3.1 基本定理 51

3.2 一些应用实例 56

3.2.1 对Fourier级数的应用 56

3.2.2 对收敛性的应用 60

3.2.3 对向量值解析函数的应用 61

3.2.4 对再生解析Hilbert空间的应用 63

3.3 算子半群简介 67

第四章 Banach代数和谱 75

4.1 Banach代数 75

4.1.1 Banach代数的可逆元 76

4.1.2 谱 77

4.1.3 谱映射定理 81

4.2 交换的Banach代数 82

4.2.1 Banach代数的理想 82

4.2.2 可乘线性泛函和极大理想 83

4.2.3 Gelfand变换 84

4.2.4 例子和应用 85

4.3 Riesz函数演算 91

4.4 C*-代数简介 100

4.4.1 C*代数的基本概念 100

4.4.2 Gelfand-Naimark定理 103

4.4.3 C*-代数的正元 106

4.4.4 态和GNS构造 108

4.4.5 Fuglede-Putnam定理 111

4.4.6 二次换位子定理 113

第五章 Hilbert空间上的算子 117

5.1 紧算子 117

5.1.1 定义和例子 117

5.1.2 紧算子的谱分析 119

5.1.3 紧的正规算子 122

5.2 Hilbert-Schmidt算子 123

5.3 迹类算子 126

5.4 Schatten p-类算子 131

5.4.1 定义和例子 131

5.4.2 Schatten p-类算子的对偶空间（p≥1） 133

5.5 Fredholm算子 137

5.5.1 Atkinson定理 137

5.5.2 Fredholm指标 138

5.5.3 BDF-定理 141

5.6 正规算子的谱定理 146

5.7 次正规算子和亚正规算子 150

5.7.1 基本概念和例子 150

5.7.2 Berger-Shaw定理 152

5.8 压缩算子的膨胀 157

第六章 Toeplitz算子、Hankel算子和复合算子 162

6.1 引言 162

6.2 Hardy空间 164

6.2.1 Hardy空间简介 164

6.2.2 Beurling定理 167

6.2.3 内-外因子分解定理 171

6.3 Hardy空间上的Toeplitz算子 173

6.3.1 Toeplitz算子的代数性质 174

6.3.2 连续符号的Toeplitz算子的指标公式 177

6.3.3 Toeplitz代数 179

6.4 Hardy空间上的Hankel算子 182

6.4.1 Nehari定理 183

6.4.2 Hartman定理 185

6.4.3 对插值问题的应用 188

6.5 Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子 189

6.6 复合算子 193

6.6.1 Hardy空间上的复合算子 193

6.6.2 Bergman空间上的复合算子 197

参考文献 202