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第1章 误差分析 1

1.1 引言：数值分析和算法 1

1.1.1 算法 1

1.1.2 算法的特点 2

1.1.3 算法的计算量分析 2

1.1.4 算法的要素和解决对象 3

1.2 误差分析 3

1.2.1 误差来源 3

1.2.2 误差与有效数字 4

1.2.3 误差的传播 7

1.3 数值稳定性与误差病态防治 10

1.3.1 病态问题与条件数 10

1.3.2 数值稳定性 12

1.3.3 误差病害的防治 14

第2章 插值与拟合 21

2.1 引言：插值法 21

2.1.1 函数逼近 21

2.1.2 描点法与插值法 22

2.1.3 插值多项式的存在唯一定理 23

2.2 拉格朗日插值 26

2.2.1 线性插值与抛物插值 26

2.2.2 拉格朗日插值 31

2.2.3 插值余项和误差估计 32

2.2.4 例题选讲 34

2.3 牛顿插值 37

2.3.1 均差及其性质 37

2.3.2 牛顿插值多项式 38

2.3.3 例题选讲 40

2.4 厄米特插值 42

2.4.1 密切插值 42

2.4.2 厄米特插值 43

2.4.3 三次厄米特插值多项式 47

2.4.4 例题选讲 48

2.5 分段低次插值 53

2.5.1 龙格现象 53

2.5.2 分段线性插值 56

2.5.3 分段三次厄米特插值 58

2.5.4 例题选讲 60

2.6 三次样条插值 62

2.6.1 三次样条函数 62

2.6.2 三次样条插值函数的建立 64

2.6.3 三次样条插值函数的误差估计 74

2.6.4 例题选讲 74

2.7 曲线拟合的最小二乘法 81

2.7.1 曲线的最小二乘直线拟合 81

2.7.2 曲线拟合的一般问题 90

第3章 数值微分与数值积分 98

3.1 引言：数值积分 98

3.1.1 数值积分问题的背景 98

3.1.2 机械求积公式 98

3.1.3 代数精度 103

3.1.4 插值型机械求积公式 104

3.1.5 求积公式的稳定性与收敛性 106

3.1.6 例题选讲 107

3.2 辛普生公式和柯提斯公式 111

3.2.1 辛普生公式和柯提斯公式 111

3.2.2 偶数阶求积公式的代数精度 115

3.2.3 低阶柯提斯公式余项估计 116

3.2.4 例题选讲 118

3.3 复化求积公式 121

3.3.1 复化梯形公式 121

3.3.2 复化辛普生公式 122

3.3.3 例题选讲 124

3.4 龙伯格求积公式 133

3.4.1 二分变步长梯形公式 133

3.4.2 龙伯格公式 135

3.4.3 理查森外推加速算法和龙伯格算法 138

3.4.4 例题选讲 141

3.5 高斯求积公式 143

3.5.1 高斯求积公式的一般理论 143

3.5.2 高斯—勒让德求积公式 147

3.6 数值微分 154

3.6.1 差分公式 154

3.6.2 插值型数值微分公式 161

3.6.3 数值微分的外推法 168

3.6.4 数值微分的代数精度 175

第4章 非线性方程求根 178

4.1 搜索法与二分法 178

4.1.1 零点法与搜索法 178

4.1.2 二分法 180

4.2 迭代法及其收敛性 182

4.2.1 不动点迭代法基本原理 182

4.2.2 局部收敛性与收敛阶 185

4.2.3 例题选讲 187

4.3 埃特金加速算法和斯蒂芬森迭代法 192

4.3.1 埃特金加速加速算法 192

4.3.2 斯蒂芬森迭代法 193

4.3.3 例题选讲 196

4.4 牛顿法 197

4.4.1 牛顿迭代法基本原理 197

4.4.2 平等弦法与牛顿下山法 200

4.4.3 例题选讲 202

4.5 弦截法和抛物线法 208

4.5.1 弦截法 208

4.5.2 抛物线法 209

4.5.3 例题选讲 211

4.6 非线性方程组的牛顿法 213

4.6.1 非线性方程组的牛顿法 213

4.6.2 例题选讲 215

第5章 解线性方程组的直接方法 220

5.1 高斯消去法 220

5.1.1 高斯消去法的源流和背景 220

5.1.2 基本概念 223

5.1.3 LU三角分解 225

5.1.4 高斯消去法的算法体系 232

5.1.5 高斯消去算法 236

5.1.6 例题选讲 237

5.2 高斯主元素消去法和高斯—若当消去法 238

5.2.1 高斯列主元素消去法 238

5.2.2 高斯列主元素消去法的算法体系 241

5.2.3 高斯—若当消去法 247

5.3 矩阵三角分解法 251

5.3.1 矩阵的LU直接三角分解法（杜利特尔分解与克需分解） 252

5.3.2 对称正定矩阵的乔来斯基平方根分解法 257

5.3.3 三对角矩阵的追赶法 265

5.4 向量和矩阵的范数 274

5.4.1 向量范数 275

5.4.2 矩阵范数 282

5.5 条件数与误差分析 291

5.5.1 条件数 291

5.5.2 例题选讲 296

第6章 线性方程组的迭代法 300

6.1 线性方程组的古典迭代法 300

6.2 迭代法的收敛性 311

6.3 迭代法例题选讲 318

第7章 矩阵特征值计算 325

7.1 幂法与反幂法 325

7.1.1 幂法 325

7.1.2 幂法的加速 332

7.1.3 反幂法 341

7.2 豪斯霍尔德反射与吉文斯旋转 350

7.2.1 豪斯霍尔德初等反射阵 350

7.2.2 豪斯霍尔德正交相似约化 354

7.2.3 吉文斯旋转 368

7.3 矩阵特征值的QR算法 371

7.3.1 QR正交三角分解算法 372

7.3.2 QR算法的原点位移加速 376

第8章 常微分方程初值问题的数值方法 386

8.1 欧拉单步方法 386

8.1.1 欧拉单步方法基本概念 386

8.1.2 局部截断误差与阶 392

8.1.3 例题选讲 394

8.2 龙格-库塔方法 399

8.2.1 显式龙格-库塔方法 399

8.2.2 高阶和隐式龙格-库塔方法 406

8.2.3 变步长龙格-库塔方法 407

8.2.4 例题选讲 408

8.3 单步法的收敛性与稳定性 413

8.3.1 收敛性与相容性 413

8.3.2 绝对稳定性与绝对稳定域 415

8.3.3 例题选讲 417

8.4 线性多步法 419

8.4.1 线性多步法 419

8.4.2 阿当姆斯线性多步法 423

8.4.3 米尔尼、辛普生与哈明公式 432

8.4.4 预测—校正方法 438

8.4.5 线性多步法的设计 439

参考文献 444