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第一章 行列式 1

第一节 行列式的定义 1

一、二阶与三阶行列式 1

二、n阶行列式的定义 4

习题1-1 5

第二节 行列式的性质与计算 6

一、行列式的性质 6

二、行列式的计算举例 9

习题1-2 12

第三节 克莱姆（Cramer）法则 13

习题1-3 15

本章内容小结 16

综合练习一 16

第二章 矩阵 19

第一节 矩阵及其运算 19

一、矩阵的定义 19

二、矩阵的线性运算 20

三、矩阵与矩阵的乘法 22

四、矩阵的转置 24

五、方阵的幂与行列式 25

习题2-1 27

第二节 逆矩阵及矩阵的分块 28

一、逆矩阵的概念 28

二、矩阵分块法 31

习题2-2 34

第三节 矩阵的初等变换与初等方阵 35

一、矩阵初等变换的定义 35

二、初等矩阵 37

三、用初等行变换求逆矩阵 39

习题2-3 41

第四节 矩阵的秩 42

一、矩阵的秩的定义 42

二、利用初等变换求矩阵的秩 43

习题2-4 44

本章内容小结 45

综合练习二 46

第三章 n维向量 48

第一节 向量及其线性运算 48

习题3-1 49

第二节 向量组的线性相关性 49

一、线性组合 49

二、线性相关，线性无关 51

三、关于线性相关、无关的一些重要结论 52

习题3-2 55

第三节 向量组的最大无关组与秩 55

一、向量组的等价 55

二、最大无关组与秩 56

习题3-3 59

第四节 向量空间 59

习题3-4 60

本章内容小结 61

综合练习三 61

第四章 线性方程组 62

第一节 线性方程组的常用解法 62

一、克莱姆法则与逆矩阵解法 62

二、消元法 63

习题4-1 65

第二节 线性方程组解的结构 65

一、线性方程组解的判定 65

二、齐次线性方程组解的结构 67

三、非齐次线性方程组解的结构 71

习题4-2 72

本章内容小结 73

综合练习四 73

第五章 特征值与相似矩阵 77

第一节 向量的内积 77

一、向量的内积 77

二、正交向量组 78

三、施密特正交化 79

四、正交矩阵与正交变换 80

习题5-1 81

第二节 特征值与特征向量 81

一、特征值与特征向量的定义 81

二、特征值与特征向量的性质 83

习题5-2 83

第三节 相似矩阵与矩阵的对角化 84

一、相似矩阵 84

二、矩阵可对角化的条件 84

三、实对称矩阵的对角化 86

习题5-3 87

本章内容小结 88

综合练习五 88

第六章 二次型 90

第一节 二次型与标准形 90

一、二次型与对称矩阵 90

二、标准形 91

习题6-1 92

第二节 用正交变换化二次型为标准形 92

习题6-2 94

第三节 用仿射变换化二次型为标准形 94

习题6-3 96

第四节 正定二次型 96

一、正定二次型的定义及性质 96

二、正定二次型的判定 97

习题6-4 99

本章内容小结 100

综合练习六 100

第七章 线性代数计算的数值方法 102

第一节 求解线性代数方程组的直接法 102

一、高斯消元法 102

二、列选主元消元法 104

三、追赶法 105

第二节 求解线性代数方程组的迭代法 107

一、雅可比迭代法 107

二、高斯—塞德尔迭代法 109

第三节 迭代法的收敛性 110

一、向量范数 110

二、矩阵范数 111

三、迭代法的收敛性 112

第四节 矩阵的特征值与特征向量的计算 113

一、乘幂法 114

二、反幂法 115

三、雅可比方法 116

第八章 线性代数应用与数学模型 120

第一节 矩阵与线性方程组的应用 120

第二节 矩阵相似对角化的应用 133

第三节 向量空间与内积的应用 138

第四节 实二次型理论的应用 141

第五节 综合应用 142

附录Ⅰ 关于连加号∑与连乘号Ⅱ 152

一、连加号∑ 152

二、连乘号Ⅱ 152

附录Ⅱ 常见特殊矩阵及其性质 152

一、对角矩阵 152

二、上（下）三角形矩阵 154

三、对称与反对称矩阵 154

四、正交矩阵 155

五、幂等阵，对合阵 155

六、幂零阵 155

附录Ⅲ MATLAB软件在线性代数中的应用 156

习题答案与提示 164

参考文献 173