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第一部分 数学基础知识 1

第一章 概述 3

（一）数学 3

算术、算学与数学 3

数学研究的对象 3

数学的特点 3

数学的分科 4

（二）集合与对应 4

集合的概念 4

集合的表示法 5

集合的分类 6

集合的运算 7

集合的运算律 8

对应 9

等价集合与集合的基数 11

（三）数系 11

运算与逆运算 11

数系的扩充及其基本原则 12

数系 13

第二章 数与计算 15

一、（非负）整数 15

（一）整数的认识 15

自然数 15

自然数列 17

零 18

扩大的自然数列 19

（二）计数与记数 20

计数 20

记数 20

数字 21

十进制计数法 22

数位的分节 25

进位制 25

（三）整数的运算 26

整数四则运算 26

整数加法 27

整数减法 28

整数乘法 28

整数除法 29

运算顺序 30

基本运算定律与运算性质 31

四则运算法则 35

和、差、积、商的变化 39

速算 41

验算 43

（四）整数的整除性 46

整除的概念 46

整除的性质 47

约数、倍数 47

奇数、偶然 48

质数、合数 48

质数表 49

能被某个自然数整除的数的特征 50

能被2、5整除的数的特征 51

能被4、25、8、125整除的数的特征 51

能被3、9整除的数的特征 52

能被7、11、13整除的数的特征 53

质因数 53

算术基本定理 54

分解质因数 54

公约数、最大公约数 55

互质数 55

最大公约数的求法 56

公倍数、最小公倍数 58

最小公倍数的求法 59

最大公约数、最小公倍数知识的应用 61

二、分数 62

（一）分数的意义与性质 62

分数的基本概念 62

分数与除法的关系 63

分数的大小比较 63

真分数、假分数、带分数 64

分数的基本性质 64

约分 65

通分 65

（二）分数的四则运算 65

分数加法 65

分数减法 66

分数乘法 67

倒数 68

分数除法 68

分数四则混合运算 69

繁分数（式） 69

三、小数 70

（一）小数的意义和性质 70

小数 70

小数的性质 73

小数的大小比较 73

（二）小数的四则运算 73

小数加、减法 73

小数乘法 74

小数除法 74

循环小数 75

无限不循环小数 76

（三）小数与分数 76

化普通分数为小数 76

化小数为分数 78

分数、小数四则混合运算 80

四、百分数 80

百分数 80

千分数、成数 81

百分数、分数、小数的互化 81

部分常用数据 81

五、近似数与近似计算 82

准确数与近似数 82

近似数的截取方法 83

绝对误差 84

精确度 84

相对误差 85

有效数字 85

近似数的加、减法 87

近似数的乘、除法 87

近似数的混合运算 88

预定精确度的计算 88

六、珠算与现代计算工具 89

（一）珠算 89

珠算 89

算盘 89

珠算记数法 90

拨珠法 90

珠算口诀 91

珠算加法 91

珠算减法 92

珠算乘法 93

珠算除法 94

九归 94

飞归 96

趣味珠算练习 97

（二）现代计算工具与方法 100

计算工具发展概况 100

电子计算机 101

电脑 102

电子计算器 102

电脑时代的珠算 102

第三章 量与计量 104

一、量的概念与计量 104

量的概念 104

量的计量 104

主单位、倍数单位、分数单位 105

进率 105

二、计量制度 105

计量制度的发展概况 105

国际单位制 106

法定计量单位 111

常用的法定长度单位 112

常用的法定面积单位 113

常用的法定体积单位 113

常用的法定质量单位 114

常用的法定时间单位 114

区时、世界时和北京时间 116

三、名数 118

名数的概念 118

高级单位和低级单位 119

名数的化法和聚法 119

名数的四则运算 119

第四章 比和比例 120

一、比 120

比 120

反比 120

比的性质 121

比的化简 121

比例尺 121

连比 122

比例分配 122

二、比例 123

比例的意义 123

比例的基本性质 123

比例定理 123

解比例 124

成正比例的量 124

成反比例的量 125

第五章 应用题 127

一、应用题及其解答 127

应用题的概念 127

应用题的特点 127

应用题的分类 127

解答应用题的基本方法 128

解答应用题的一般步骤 128

二、整数四则应用题 129

简单应用题及其解法 129

分析复合应用题的基本方法 130

典型应用题的分类 133

平均问题 133

归一问题与倍比问题 134

行程问题 136

还原问题 140

植树问题 141

和差问题与行船问题 143

和倍问题、差倍问题 146

按份数分配的问题 150

按两个差求未知数的问题 151

三、分数、百分数应用题 153

分数的基本应用题 153

较复杂的分数应用题 153

工程问题 155

百分数应用题 156

四、比和比例应用题 158

比和比例应用题 158

比例尺应用题 158

按比例分配应用题 160

正、反比例应用题 162

第六章 代数初步知识 165

一、用字母表示数 165

用字母表示数 165

代数式 165

等式 165

等式的基本性质 165

不等式 166

二、有理数 166

正数和负数 166

有理数 167

数轴 168

绝对值 168

有理数的大小比较 168

有理数的四则运算 169

有理数的乘方 170

有理数的混合运算 170

三、方程与方程组 171

（一）方程 171

方程 171

方程的基本性质 171

一元一次方程 171

一元一次方程的解法 171

简易方程 172

（二）方程组 172

二元一次方程组 172

二元一次方程组的解法 173

四、列方程解应用题 175

列方程解应用题的特点 175

列方程解应用题的一般步骤 176

部分复合应用题解题思路的代数分析 176

五、其他 179

数列 179

等差数列 179

等比数列 182

群数列 183

加法原理与乘法原理 185

排列 186

组合 188

一次不定方程 189

第七章 几何初步知识 196

一、基本概念 196

（一）几何学与几何图形 196

几何学 196

几何体 196

面 196

线 196

点 196

几何图形 196

平面图形与平面几何学 197

立体图形与立体几何学 197

（二）线与面 197

直线 197

射线 197

线段 197

折线 198

曲线 198

平面 199

曲面 199

截面、横截面 199

（三）角 199

角 199

周角、平角 200

角的度量 201

量角器 201

直角、锐角、钝角 201

周角、平角、直角之间的关系 202

邻角 202

余角 202

补角 203

对顶角 203

（四）相交与平行 203

相交 203

垂直和垂线 204

斜线 204

点到直线的距离 205

平行线 205

平行线间的距离 206

同位角、内（外）错角、同旁内（外）角 207

平面上两条直线的位置关系 207

二、多边形和圆 208

（一）平面图形的若干属性 208

周长 208

面积与面积单位 208

轴对称图形 208

中心对称图形 209

轴对称图形与中心对称图形的比较 210

（二）多边形 210

多边形 210

凸多边形与凹多边形 211

多边形的内角和外角 211

正多边形 212

多边形的周长和面积 213

（三）三角形 213

三角形 213

三角形的分类 213

三角形的高 214

三角形的面积 215

勾股定理及其逆定理 215

三角形的巧合点 216

（四）四边形 217

四边形 217

平行四边形 217

平行四边形的面积 218

长方形 218

长方形的周长和面积 219

正方形 219

梯形 220

等腰梯形与直角梯形 220

梯形的面积 221

菱形 221

四边形之间的关系 222

（五）圆 223

圆 223

弧 223

圆心角、圆周角 224

圆周长与圆周率 224

圆面积 226

扇形 226

弧长 227

弓形 227

环形 228

（六）分割与割补 228

分割法 228

割补法 229

组合图形问题 230

七巧板 230

（七）平面作图 234

尺规作图 234

作图公法 234

基本作图十种 235

常用的几何作图法 240

三、多面体和旋转体 244

（一）有关概念 244

点到平面的距离 244

平行平面间的距离 244

侧面积与表面积 244

体积和容积（容量） 245

（二）多面体 246

多面体 246

正多面体 246

棱柱 247

长方体 248

长方体的表面积和体积 248

正方体 248

棱锥 249

棱台 249

拟柱体 250

（三）旋转体 251

旋转面 251

旋转体 253

圆柱 253

圆柱的侧面积和表面积 253

圆柱的体积 254

圆锥 254

圆锥的侧面积和表面积 255

圆锥的体积 255

圆台 255

球 257

（四）空间作图 257

空间作图 257

空间基本作图 258

直观图中水平放置的平面图形的画法 261

几何体的直观图 263

第八章 统计初步知识 265

一、统计学与统计工作 265

统计学 265

统计工作的一般步骤 265

二、数据的收集 266

收集数据的方法 266

全面调查与部分调查 266

总体、个体、样本 266

频数与频率 266

几种常用的抽样方法 267

三、数据的整理 267

整理数据的一般步骤 267

统计表 268

统计表的结构 268

单式统计表与复式统计表 269

统计表的制作规则 269

统计图 269

条形统计图 269

折线统计图 270

扇形统计图 271

四、几种重要的统计特征数 272

集中量数与差异量数 272

平均数 273

中位数 274

众数 275

平均数、中位数、众数的比较 275

极差 275

方差 275

标准差 275

第二部分 数学发展简史 277

第一章 概述 279

数学史 279

数学史的分期 280

世界数学史 282

中国数学史 282

数学史的功能及教育 283

第二章 各科发展概况 285

算术 285

代数学 285

几何学 286

三角学 287

解析几何 287

微积分 288

函数论 288

数论 289

微分方程 289

概率统计 290

拓扑学 290

数理逻辑和数学基础 290

组合数学 291

运筹学 292

计算数学 292

模糊数学 293

第三章 世界数学史 295

计数和记数的历史 295

数学符号进步史 296

巴比伦数学 298

古代埃及数学 299

古代希腊数学 299

古代印度数学 300

阿拉伯数学 300

欧洲中世纪数学 301

常量数学与变量数学 301

近代数学与现代数学 302

毕达哥拉斯 302

欧几里得和《几何原本》 303

阿基米德 303

丢番图 304

韦达 305

笛卡儿 305

费马与费马大定理 306

牛顿和莱布尼兹 306

贝努利数学家族 307

欧拉 308

哥德巴赫猜想 308

高斯 309

柯西 310

罗巴切夫斯基与非欧几何 310

伽罗瓦与群论 311

黎曼 312

康托尔与集合论 312

希尔伯特和他的23个问题 312

冯·诺伊曼与电子计算机 313

数学史上三次危机 314

菲尔兹数学奖 315

沃尔夫奖 315

“新数学”运动 315

第四章 中国数学史 317

中国数学发展概况 317

算筹和筹算 321

《算数书》 322

《周髀算经》 322

周公与商高问答 323

赵爽与弦图 323

《九章算术》 324

算经十书 325

刘徽与《九章算术·注》 328

祖冲之、祖恒 328

沈括与隙积术 329

贾宪-杨辉三角 330

秦九韶与《数书九章》 330

李冶与天元术 331

朱世杰与《四元玉鉴》 332

程大位和《算法统宗》 332

中国古代大数单位 332

中国古代小数单位 333

纵横图（幻方） 333

梅文鼎及其数学家族 334

李善兰 335

陈建功 336

苏步青 336

华罗庚 337

江泽涵 338

陈景润 339

中国数学会 339

钟家庆数学奖 340

中国数学教育发展小史 340

第五章 世界数学名选题 343

分面包问题 343

7的倍乘算题 344

十兄弟分银问题 345

食苗衰偿 346

客去忘衣 346

凫雁相逢 347

五渠注水 348

瓜瓠相遇 348

宴客洗碗 349

孙子问题 349

百鸡问题 350

几何三大名题 351

黄金分割 352

丢番图年龄问题 353

驴骡驮物问题 354

蜂落花间 355

婆什迦罗妙算 355

兔子繁殖问题 356

哥尼斯堡七桥问题 356

36个军官问题 357

四色问题 358

角谷猜想 359

第三部分 小学数学教学工作的原理与方法 361

第一章 小学数学教学的目的和内容 363

小学数学的地位和作用 363

小学数学教学目的与要求 363

小学数学的教学内容 366

小学数学课本 368

小学数学各年级教学要求的用语和层次 372

第二章 小学数学教学的基本特征、原则和方法 374

（一）小学数学教学过程 374

教学过程概述 374

小学数学教学过程 375

小学数学教学中儿童的认识过程 376

小学数学教学过程发展的动力 378

（二）小学数学教学原则 379

教学原则概述 379

教育学中的教学原则 380

小学数学教学原则体系 384

在小学数学教学中贯彻教学原则 385

（三）小学数学教学方法 387

教学方法概述 387

小学数学教学中常用的教学方法 388

小学数学教学方法的选择 390

小学数学教学方法改革 391

第三章 小学数学教学的组织 394

（一）数学课 394

数学课的任务 394

数学课堂教学的基本要求 395

数学课的类型和结构 395

（二）备课 397

备课的意义 397

备课的过程 398

备课的基本要求 398

学期教学计划 400

单元教学计划 401

课时教学计划（教案） 402

（三）上课 403

教案的运用 403

组织教学 403

学生学习活动的组织 404

教学进程的调控 404

小学数学课堂教学的分析 405

（四）数学作业 406

数学作业的种类 406

数学作业的布置 406

数学作业的检查与批改 407

（五）数学成绩的考查与评定 408

数学成绩考查的意义 408

数学成绩考查的基本形式与方法 408

考查命题的科学性 409

数学成绩的评定 411

数学考查的质量分析 412

（六）数学课外活动 414

数学课外活动的意义 414

数学课外活动的内容 414

数学课外活动的形式 415

数学兴趣小组 416

数学课外阅读 416

数学墙（板）报 417

数学园地 417

数学讲座 418

数学游戏 418

数学谜语 418

数学文艺会 419

数学展览会 419

数学参观 419

数学竞赛 420

附：少年数学竞赛问题七种 420

填数问题 420

计数问题 422

奇偶性问题 423

图形变换问题 424

推理问题 426

抽屉原则问题 427

非常规运算问题 428

第四章 逻辑学及其应用 430

（一）思维和逻辑 430

思维和逻辑 430

形式逻辑和辩证逻辑 430

思维的基本形式 431

（二）概念 432

概念的意义 432

概念的内涵和外延 432

概念间的关系 433

概念的定义 435

概念的划分 436

（三）判断和命题 438

判断（命题）的意义 438

命题的结构和形式 438

等价命题和充分必要条件 439

逆否命题律 440

分断式命题律 440

同一法则 441

（四）推理和证明 441

推理 441

归纳推理和演绎推理 442

三段论式 443

完全归纳法 443

不完全归纳法 444

类比推理 444

猜想 445

论证（证明） 445

直接证法和间接证法 445

分析法与综合法 446

反证法的步骤 447

数学归纳法 448

（五）形式逻辑的基本规律 450

形式逻辑基本规律 450

同一律 450

矛盾律 451

排中律 451

充足理由律 452

常见的逻辑错误 452

（六）数学问题与解题研究 455

常见的数学问题及其分类 455

开放性问题 456

解题的意义 457

解题的一般程序 458

解题思考原则 459

一题多解研究 460

组题与题组 460

推广和引伸 461

解题思考中的辅助手段 463

数学命题法 465

数学直觉思维 467

科学逻辑与数学发现 468

第五章 小学数学教学心理 470

一、小学数学教师与心理学 470

心理现象与心理学 470

普通心理学、发展心理学与心理学 470

教育心理学、教学心理学与学习心理学 471

儿童教育心理学 472

数学教学心理学 472

小学数学教师与心理学 473

小学数学教学中的心理学问题 475

二、小学儿童的心理发展与数学教学 477

（一）心理发展的基本理论 477

发展与心理发展 477

儿童心理发展的基本因素 477

儿童心理发展的动力 478

心理发展的一般规律 479

儿童心理发展的年龄阶段性 481

小学儿童的心理年龄特征 482

儿童心理发展与教育 482

（二）小学数学教学与儿童心理发展 483

数学教学与数学学习在教学过程中的统一 483

小学数学教学与儿童心理发展的关系 483

小学数学教学如何促进儿童的心理发展 484

数学教学是数学活动的教学 486

数学活动教学的基本观点与要求 487

数学技能 490

数学能力 491

数学技能与数学能力的关系 492

数学态度 492

三、小学数学学习心理 494

数学认知结构 494

同化和顺应 494

数学概念的掌握 495

影响概念学习的因素 497

数概念的形成与掌握 499

自然数概念的掌握 499

分数概念的掌握 500

形概念的形成与掌握 501

法则、定律、性质、公式的理解与掌握 502

计算技能的形成 504

小学生解题的智力水平特点 505

解答应用题的心理学分析 506

数学学习的非认知因素 507

数学学习的迁移 508

第六章 小学数学教学论文写作 511

（一）概述 511

小学数学教学论文的概念 511

小学数学教学论文的基本要求 511

研究报告与学术论文的异同 512

小学数学教学论文撰写的一般过程 513

（二）选题 513

选题的意义 513

选题的一般原则 514

选题的范围与内容 515

选题与论文的创造性 516

选题的通途与技巧 518

（三）聚材 521

材料的作用及采集材料的重要性 521

采集材料的范围、途径与方法 522

采集材料的基本要求 523

材料的整理与占有 523

（四）构思 525

构思的意义与任务 525

构思的基本内容与要求 526

构思中的创造性与新奇性 529

论文提纲的编写 529

（五）起草 530

起草的过程 530

教学论文的语言 530

教学论文的基本结构形式 532

怎样写绪论 532

怎样写本论 533

怎样写结论 534

文气的贯通 535

快写初稿的技巧 535

（六）修改 537

修改的意义 537

修改的范围和内容 537

主题的变动 538

观点的订正 538

结构的调整 539

材料的更易 539

语言的润色 540

标题的斟酌 540

修改的常用方法与技巧 541

附录 542

一、常用数学符号表 542

二、常用数表 546

1.百以内数平方与立方表 546

2.1000以内质数表 548

3.1000以内质因数分解表 548

4.重要数学常数 557

三、数学人名表 558

四、小学儿童心理发展特点简表 567

五、科学技术报告、学位论文和学术论文的编写格式 570

音序索引 571

主编后记 586