随机数学及其应用PDF电子书下载

第1章 测度论基础下的概率论简介 1

1.1 可测空间与概率空间 1

1.1.1 可测空间与可测集 2

1.1.2 测度与概率 4

1.2 可测函数与随机变量 5

1.2.1 可测函数的定义和性质 5

1.2.2 随机变量序列的收敛性 8

1.2.3 强大数定律 10

1.3 可测函数的积分与数学期望 10

1.3.1 可测函数积分的定义 11

1.3.2 可测函数积分的性质 12

1.3.3 积分收敛定理 13

1.3.4 随机变量的期望与特征函数 14

1.3.5 随机变量的特征函数 16

1.4 乘积空间上的测度论 17

1.4.1 乘积可测空间 17

1.4.2 乘积测度和富比尼定理 17

1.5 条件数学期望 19

1.5.1 初等概率论中的条件期望 19

1.5.2 关于σ代数条件下的条件期望 21

1.5.3 条件期望的重要例子 21

1.5.4 条件期望的性质 22

习题1 24

第2章 随机过程的基本概念 26

2.1 随机过程的概念 26

2.1.1 随机过程的定义 26

2.1.2 随机过程的有限维分布函数族 28

2.1.3 随机过程的数字特征 28

2.1.4 随机过程的应用背景简介 29

2.2 几类常见的随机过程 30

2.2.1 独立增量过程 30

2.2.2 正态过程 31

2.2.3 平稳过程 32

2.2.4 计数过程 34

习题2 35

第3章 泊松过程 37

3.1 泊松过程的定义 37

3.1.1 泊松过程的第一种定义 37

3.1.2 泊松过程的第二种定义及其等价性 39

3.1.3 强度函数和随机分流定理 40

3.2 泊松过程的性质 42

3.2.1 Tk和τk的分布 42

3.2.2 到达时刻τn的条件分布 46

3.2.3 剩余寿命和年龄的分布 49

3.3 泊松过程的推广 51

3.3.1 广义泊松过程 51

3.3.2 非齐次泊松过程 52

3.3.3 条件泊松过程 54

3.3.4 复合泊松过程 56

3.4 更新过程 57

3.4.1 更新过程的定义 57

3.4.2 更新过程的性质 60

3.4.3 更新过程的推广形式 63

习题3 64

第4章 马尔可夫过程 66

4.1 马尔可夫链的定义及转移概率 66

4.1.1 马尔可夫链的定义 66

4.1.2 马尔可夫链的转移概率 68

4.1.3 马尔可夫链的例子 69

4.2 马尔可夫链的状态分类与判别 71

4.2.1 为什么要进行状态的分类 71

4.2.2 刻画状态类型的特征量 72

4.2.3 状态类型的定义 75

4.2.4 状态类型的判定及其性质 76

4.3 状态之间的关系和状态空间的分解 78

4.3.1 状态的可达与互通 78

4.3.2 状态空间的分解 80

4.3.3 状态空间分解的应用举例 82

4.4 马尔可夫链的遍历性理论与平稳分布 84

4.4.1 遍历性定理 85

4.4.2 马尔可夫链的平稳分布 87

4.4.3 马尔可夫链的极限分布 89

4.5 连续时间参数的马尔可夫链 91

4.5.1 连续时间参数的马尔可夫链的概念 92

4.5.2 转移速率矩阵——Q矩阵 96

4.5.3 柯尔莫哥洛夫微分方程 97

4.5.4 强马尔可夫性 99

4.6 特殊的马尔可夫链 101

4.6.1 随机游动 102

4.6.2 分枝过程 102

4.6.3 生灭过程 103

4.6.4 可逆马尔可夫链 104

4.6.5 半马尔可夫过程 106

习题4 107

第5章 鞅 110

5.1 鞅的概念与性质 110

5.1.1 定义与简单性质 110

5.1.2 重要的例 112

5.1.3 下鞅分解定理 114

5.2 停时定理 115

5.2.1 τ前σ-代数 115

5.2.2 停时定理 116

5.3 鞅的不等式与收敛定理 118

5.3.1 上穿不等式 118

5.3.2 下鞅的收敛定理 119

5.3.3 鞅的不等式 120

5.4 连续参数鞅 120

5.4.1 从离散鞅到连续鞅 120

5.4.2 连续鞅的上鞅分解定理 121

5.4.3 连续鞅的上穿不等式与收敛定理 121

5.4.4 连续鞅的停时定理 122

习题5 123

第6章 布朗运动 124

6.1 布朗运动的定义与性质 124

6.1.1 布朗运动的定义 124

6.1.2 布朗运动的分布 126

6.1.3 布朗运动的轨道性质 127

6.1.4 布朗运动的鞅性质 129

6.2 布朗运动的首中时与最大值 130

6.2.1 首中时的分布 130

6.2.2 最大值的分布 132

6.2.3 零点与反正弦律 134

习题6 135

第7章 随机分析简介 137

7.1 均方分析 137

7.1.1 均方极限 137

7.1.2 均方连续 138

7.1.3 均方导数 139

7.1.4 均方积分 141

7.2 Ito积分的定义及性质 144

7.2.1 简单过程的Ito积分 145

7.2.2 一般L2过程的Ito积分 148

7.2.3 多维Ito积分 151

7.3 Ito过程与Ito公式 152

7.3.1 一维Ito过程与Ito公式 152

7.3.2 布朗运动的识别 154

7.3.3 多维Ito公式 155

7.4 随机微分方程 156

7.4.1 解的存在性与唯一性 156

7.4.2 随机微分方程的解法 158

7.4.3 Ito扩散及其基本性质 160

7.5 案例分析——欧式期权定价 164

习题7 166

第8章 贝叶斯统计推断简介 169

8.1 贝叶斯统计模型 169

8.2 选取先验分布方法 172

8.2.1 无信息先验分布 172

8.2.2 共轭分布法 173

8.2.3 杰费莱原则 174

8.3 贝叶斯参数估计 176

8.3.1 最大后验估计 177

8.3.2 条件期望估计 178

8.3.3 贝叶斯区间估计 178

8.4 贝叶斯假设检验 179

8.5 贝叶斯统计决策 181

8.5.1 一般统计决策模型 181

8.5.2 贝叶斯统计决策 184

8.6 案例分析——过滤垃圾邮件 186

习题8 189

附录 常用统计分布族 191

参考文献 192