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第1章 群论基础 1

1.1 群 1

1.1.1 群的定义 1

1.1.2 群举例 2

1.1.3 重排定理 3

1.2 群结构 4

1.2.1 子群 4

1.2.2 陪集（旁集） 5

1.2.3 类和不变子群 6

1.2.4 商群 7

1.3 群之间关系 7

1.3.1 同构 7

1.3.2 同态 8

1.4 群的合成 9

1.4.1 直积 9

1.4.2 半直积 9

第2章 群表示基础 11

2.1 群表示 11

2.1.1 线性变换 11

2.1.2 群的线性表示 12

2.1.3 群表示举例 13

2.2 群表示之间关系 16

2.2.1 等价表示 16

2.2.2 可约表示 16

2.2.3 不可约表示 17

2.2.4 幺正（酉）表示 17

2.3 群代数 18

2.3.1 线性代数 18

2.3.2 群代数 19

2.4 正则表示 19

2.4.1 左正则表示 19

2.4.2 右正则表示 21

2.5 有限群表示理论 21

2.5.1 舒尔引理 21

2.5.2 有限群表示理论 21

2.6 群表示的特征标理论 23

2.6.1 特征标 23

2.6.2 特征标理论 23

2.7 新表示的构成 25

2.7.1 群表示的直积 25

2.7.2 直积群和它的不等价不可约表示的构成 26

第3章 点群 27

3.1 空间操作类型 27

3.1.1 保持三维实空间R3中向量长度不变的空间变换的一般形式 27

3.1.2 三维实正交群 27

3.1.3 空间操作的基本类型 28

3.2 对称操作 29

3.2.1 对称操作的定义 29

3.2.2 对称操作的性质 29

3.2.3 对称操作的分类 30

3.3 点群 31

3.3.1 点群的定义 31

3.3.2 点群的分类 31

3.4 晶体点群 37

3.4.1 晶体制约定理 37

3.4.2 晶体点群的种类 37

3.4.3 晶系 38

3.4.4 晶体点群的符号表示 38

3.5 点群的不可约表示 39

3.5.1 C1,C2,C3,C4,C6的群表示 39

3.5.2 D2,D3,D4,D6的表示 40

3.5.3 四面体群T和八面体群O的表示 42

第4章 转动群 44

4.1 用欧拉角表示的SO（3）群元的一般形式 44

4.2 SO（3）与SU（2）的关系 46

4.2.1 SU（2） 46

4.2.2 SO（3）与SU（2）的同态关系 46

4.3 SU（2）的不可约表示 48

4.4 SO（3）的不可约表示 49

4.4.1 SU（2）与SO（3）表示之间的关系 49

4.4.2 SO（3）的不可约表示 50

4.5 su（2）李代数 51

4.6 so（3）李代数 52

4.7 su（2）与so（3）的关系 53

4.7.1 李代数su（2）与so（3）的同构 53

4.7.2 Dj的函数性质 54

4.8 SO（3）群表示的直积及C-G系数 55

4.8.1 SO（3）群表示的直积 55

4.8.2 C-G系数 55

第5章 置换群 56

5.1 置换群 56

5.1.1 置换的定义 56

5.1.2 置换的性质 56

5.2 杨图 58

5.3 投影算子 59

5.3.1 投影算子的定义 59

5.3.2 投影算子的性质 59

5.4 幂等元 60

5.4.1 幂等元的定义 60

5.4.2 幂等元与投影符之间的关系 60

5.5 杨盘 61

5.6 杨算子 62

5.7 Sn群的不可约表示 63

第6章 李群基础 67

6.1 李群 67

6.1.1 李群的定义 67

6.1.2 李群举例 68

6.2 无穷小生成元 71

6.2.1 无穷小生成元的定义 71

6.2.2 李群群元与无穷小生成元之间关系 72

6.3 李群的张量表示 79

第7章 李代数基础 81

7.1 李代数 81

7.1.1 李代数的定义 81

7.1.2 李代数的结构 81

7.1.3 几种李代数 82

7.2 伴随表示 84

7.3 基林形式 84

7.4 单根和邓金图 85

7.5 权与李代数的表示 87

7.6 卡西米尔算子 88

参考文献 90