常微分方程 理论、建模与发展PDF电子书下载

第1章 微分方程概论 1

1.1基本概念 1

1.2几何解释 3

1.3微分方程论简介 7

1.4常微分方程发展简史与相关著名科学家简介 8

1.4.1常微分方程发展简史 8

1.4.2对微分方程发展有重要贡献的数学家简介 10

习题1 13

第2章 微分方程模型 14

2.1简单模型 14

2.2人口问题模型 18

2.3传染病动力学模型 22

习题2 26

第3章 初等积分法 28

3.1分离变量法 28

3.1.1可分离变量方程 28

3.1.2可化为分离变量方程的方程 30

3.2一阶线性微分方程 34

3.2.1一阶线性齐次方程 34

3.2.2非齐次方程，参数变易法 35

3.2.3伯努利方程 37

3.2.4里卡蒂方程 38

3.3全微分方程，积分因子法 40

3.3.1全微分方程 40

3.3.2积分因子 46

3.4一阶隐式方程与解的积分表示 50

3.4.1可以解出y或x的方程 50

3.4.2不显含y（或x）的方程 54

3.5高阶微分方程的几种可积类型 56

3 .5.1方程F（x,y(k)，y(k+1），…，y(n））=0 56

3 .5.2方程F（y,y＇，…，y(n））=0 59

习题3 61

第4章 基本定理 66

4.1引言 66

4.2解的存在唯一性定理 68

4.3解的延拓 74

4.4解对初值的连续性和可微性定理 78

4.4.1解对初值的连续性 78

4.4.2解对初值的可微性 82

习题4 84

第5章 线性微分方程（组）的理论和解法 88

5.1化任意正规型微分方程和方程组为一阶正规型微分方程组 88

5.2一阶线性方程组解的存在唯一性定理 92

5.3线性微分方程组 96

5.3.1齐次线性微分方程组 96

5.3.2非齐次线性微分方程组，常数变易法 100

5.4常系数线性微分方程组的解法 103

5.4.1矩阵A的特征根均是单根的情形 104

5.4.2矩阵A有重的特征根的情形 111

5.4.3常系数线性非齐次微分方程组的解法 115

5.5高阶线性微分方程 118

5.6常系数高阶线性微分方程 123

5.6.1常系数线性齐次方程 123

5.6.2常系数线性非齐次方程 125

5.6.3线性非齐次方程的叠加原理 128

5.6.4欧拉方程 128

习题5 130

第6章 非线性微分方程组 139

6.1动力系统与自治微分方程的概念 139

6.1.1引例 140

6.1.2基本概念 141

6.2自治微分方程组解的性质 149

6.2.1自治系统轨线的特点 150

6.2.2自治系统解的基本性质 151

6.2.3应用实例—传染病动力学模型分析 153

6.3平面线性系统的稳定性 156

6.4按线性近似决定非线性微分方程组的稳定性 163

6.5李雅普诺夫第二方法 167

6.6周期解与极限环 174

习题6 183

第7章 首次积分与一阶偏微分方程 185

7.1一阶常微分方程组的首次积分 185

7.1.1首次积分的定义 185

7.1.2首次积分的性质 189

7.1.3首次积分的存在性 192

7.2一阶线性偏微分方程 199

7.2.1一阶齐次线性偏微分方程 199

7.2.2一阶拟线性偏微分方程 201

7.3一阶偏微分方程解的几何解释 204

习题7 206

附录 系统矩阵A有重特征根时线性常微分方程组的解 208

部分习题参考答案 217

参考文献 229