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绪论 1

第一章 函数的极限与连续 3

第一节 函数 3

一、集合、常量与变量 3

二、函数的概念 4

三、函数的表示法 6

四、函数的反函数 8

五、单值函数与多值函数 8

六、函数的几种特性 9

七、初等函数 10

八、建立函数关系的实例 13

思考题1-1 15

习题1-1 15

第二节 微积分的两个基本问题和我国古代学者的极限思想 16

一、微积分的两个基本问题 17

二、我国古代学者的极限思想 19

第三节 函数的极限 19

一、数列的极限 19

二、x→∞时函数的极限 20

三、x→x0时函数的极限 22

四、极限的性质 24

思考题1-3 24

习题1-3 25

第四节 无穷小与无穷大 26

一、无穷小 26

二、无穷大 27

思考题1-4 28

习题1-4 28

第五节 极限的运算法则 29

思考题1-5 32

习题1-5 32

第六节 函数的连续性及其应用 33

一、函数的连续性 33

二、连续函数的运算 35

三、初等函数的连续性 38

四、函数的间断点 39

五、闭区间上连续函数的性质 41

思考题1-6 43

习题1-6 44

第七节 两个重要极限 44

一、极限？ 45

二、极限？ 47

习题1-7 49

思考题1-7 49

第八节 无穷小的比较 50

思考题1-8 52

习题1-8 52

第九节 综合例题 53

习题1-9 57

第二章 导数与微分 58

第一节 导数的概念 58

一、几个实例 58

二、导数的定义 59

三、导数的几何意义 62

四、可导与连续的关系 63

思考题2-1 64

习题2-1 65

一、常数和基本初等函数的导数公式 66

二、函数的和差积商的导数 66

第二节 导数公式与函数的和差积商的导数 66

思考题2-2 69

习题2-2 70

第三节 反函数和复合函数的导数 70

一、反函数的导数 70

二、复合函数的导数 72

思考题2-3 75

习题2-3 75

第四节 隐函数和参数式函数的导数 76

一、隐函数的导数 76

二、参数式函数的导数 78

三、相关变化率 79

思考题2-4 81

习题2-4 81

第五节 高阶导数 82

思考题2-5 85

习题2-5 86

第六节 微分及其应用 86

一、微分的概念 86

二、常数和基本初等函数的微分公式与微分运算法则 89

三、微分的应用 92

思考题2-6 95

习题2-6 95

第七节 综合例题 96

习题2-7 99

第三章 微分中值定理和导数的应用 102

第一节 拉格朗日定理和函数的单调性 102

一、罗尔定理 102

二、拉格朗日定理 104

三、函数的单调性 106

习题3-1 109

思考题3-1 109

第二节 函数的极值与最值 110

一、函数的极值 110

二、函数的最值 113

思考题3-2 116

习题3-2 116

第三节 曲线的凹凸、拐点与函数的分析作图法 118

一、曲线的凹凸与拐点 119

二、曲线的渐近线 121

三、函数的分析作图法 122

思考题3-3 124

习题3-3 125

第四节 曲线弧函数的微分 曲率 126

一、曲线弧函数的微分 126

二、曲率 127

思考题3-4 131

习题3-4 132

第五节 柯西定理与洛必达法则 132

一、柯西定理 132

二、洛必达法则 133

思考题3-5 137

习题3-5 137

第六节 函数的多项式逼近——泰勒公式 137

思考题3-6 143

习题3-6 143

第七节 导数在经济上的应用举例 144

一、经济学中几个常见的函数 144

二、边际与边际分析 144

三、弹性与弹性分析 146

思考题3-7 148

习题3-7 149

第八节 综合例题 150

习题3-8 154

第四章 定积分与不定积分 156

第一节 定积分的概念与性质 156

一、几个实例 156

二、定积分定义 158

三、定积分的几何意义 159

四、定积分的性质 160

思考题4-1 162

习题4-1 162

第二节 原函数与不定积分 163

一、函数的原函数与不定积分 163

二、基本积分公式 164

三、不定积分的性质 165

思考题4-2 166

习题4-2 167

第三节 微积分基本公式 167

一、积分上限函数及其性质 168

二、微积分基本公式 169

思考题4-3 171

习题4-3 172

第四节 积分的换元法 173

一、不定积分的换元法 173

二、定积分的换元法 180

思考题4-4 186

习题4-4 186

第五节 积分的分部积分法 188

一、不定积分的分部积分法 188

二、定积分的分部积分法 192

习题4-5 194

思考题4-5 194

第六节 积分举例和积分表的使用 195

一、积分举例 196

二、积分表的使用 201

思考题4-6 202

习题4-6 203

第七节 反常积分 204

一、无穷区间上的反常积分 204

二、无界函数的反常积分 206

思考题4-7 208

习题4-7 209

第八节 综合例题 209

习题4-8 213

第一节 积分模型和定积分的微元法 215

第五章 定积分的应用 215

第二节 定积分在几何上的应用 216

一、平面图形的面积 216

二、两种立体的体积 220

三、平面曲线的弧长 224

思考题5-2 226

习题5-2 226

第三节 定积分在物理上的应用 227

一、功 227

二、液体侧压力 229

三、引力 230

思考题5-3 230

习题5-3 231

第四节 函数的平均值及其应用 231

思考题5-4 234

第五节 综合例题 235

习题5-4 235

习题5-5 240

第六章 关于极限定义的精确化 243

第一节 极限概念的精确化 243

一、数列的极限 243

二、函数的极限 245

思考题6-1 247

习题6-1 247

第二节 与极限概念有关的命题证明举例 248

思考题6-2 251

习题6-2 251

第三节 综合例题 252

习题6-3 254

附：极限概念产生和发展的历史简介 255

一、实例 258

第七章 常微分方程及其应用 258

第一节 微分方程的基本概念 258

二、有关概念 259

思考题7-1 261

习题7-1 261

第二节 可分离变量的微分方程 262

一、可分离变量的微分方程 262

二、齐次方程 264

思考题7-2 266

习题7-2 267

第三节 一阶线性微分方程 267

一、一阶线性微分方程 267

二、伯努利方程 271

思考题7-3 273

习题7-3 273

第四节 一阶微分方程的应用举例 274

思考题7-4 279

习题7-4 280

第五节 可降阶的高阶微分方程 280

一、y(n)=f(x)型的微分方程 281

二、y″=f(x，y′)型的微分方程 281

三、y″=f(y，y′)型的微分方程 282

思考题7-5 283

习题7-5 284

第六节 二阶线性微分方程解的结构 284

一、线性齐次微分方程解的结构 284

二、线性非齐次微分方程解的结构 286

思考题7-6 287

第七节 二阶常系数线性微分方程 288

一、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 288

习题7-6 288

二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 291

思考题7-7 296

习题7-7 296

第八节 二阶微分方程的应用举例 297

思考题7-8 302

习题7-8 302

第九节 综合例题 303

习题7-9 308

附录 309

一、Mathematica软件包在高等数学中的应用(一) 309

二、一些常用的中学数学公式 324

三、几种常用的曲线(a＞0) 326

四、积分表 327

思考题和习题参考答案 334

参考书目 361