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第一章 矩阵的运算与初等变换 1

1 矩阵与向量的概念 1

1.1 矩阵的概念 1

1.2 向量的概念 3

2 矩阵的运算 4

2.1 矩阵加法 4

2.2 数乘矩阵 5

2.3 矩阵乘法 6

2.4 矩阵的转置 10

3 分块矩阵及矩阵的分块运算 14

3.1 矩阵的分块加法运算 16

3.2 矩阵的分块数乘运算 16

3.3 矩阵的分块乘法运算 17

3.4 分块矩阵的转置 18

4 几种特殊矩阵 20

4.1 对角矩阵 20

4.2 上(下)三角形矩阵 21

4.3 对称矩阵 22

4.4 反称矩阵 23

4.5 分块对角矩阵 24

5 矩阵的初等变换 26

5.1 引例 26

5.2 矩阵的初等变换 27

5.3 初等矩阵 30

第二章 方阵的行列式 34

1 n阶行列式的定义 34

1.1 n阶行列式的引出 34

1.2 全排列及其逆序数 36

1.3 n阶行列式值的定义 38

2 方阵行列式的性质 42

3 展开定理与行列式的计算 49

3.1 余子式和代数余子式 49

3.2 行列式按一行(列)展开定理 50

3.3 Laplace定理 57

第三章 可逆矩阵 63

1 可逆矩阵的定义与性质 63

1.1 可逆矩阵的概念 63

1.2 可逆矩阵的性质 63

2 方阵可逆的充要条件与逆矩阵计算 65

3 矩阵的秩 74

第四章 线性方程组与向量组的线性相关性 80

1 消元法与线性方程组的相容性 80

1.1 线性方程组的相容性与Cramer法则 80

1.2 用消元法解线性方程组 83

2 向量组的线性相关性 88

2.1 n维向量 88

2.2 向量组的线性相关性 88

3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 97

3.1 向量组的秩 97

3.2 矩阵的行秩与列秩 98

4 线性方程组解的结构 103

4.1 齐次线性方程组解的结构 104

4.2 非齐次线性方程组解的结构 110

第五章 方阵的特征值 特征向量与相似化简 117

1 数域 多项式的根 117

1.1 数域 117

1.2 多项式的根与标准分解式 118

2 方阵的特征值与特征向量 120

3 方阵相似于对角矩阵的条件 127

3.1 相似矩阵及其性质 128

3.2 方阵的相似对角化 129

4 正交矩阵 137

4.1 实向量的内积与长度 137

4.2 正交向量组 139

4.3 正交矩阵与正交变换 142

4.4 共轭矩阵 143

4.5 H-矩阵与酉矩阵 144

5 实对称矩阵的相似对角化 146

5.1 实对称矩阵特征值与特征向量的性质 146

5.2 用正交变换实现实对称矩阵的相似对角化 147

6 Jordan标准形简介 158

6.1 多项式矩阵及其初等变换 158

6.2 矩阵的Jordan标准形 160

1 二次型及其矩阵 169

第六章 二次型与对称矩阵 169

2 二次型的标准形 173

2.1 用正交变换化实二次型为标准形 174

2.2 用配方法化二次型为标准形 177

3 合同变换与二次型的规范形 179

3.1 合同变换法 179

3.2 实二次型的规范形 183

3.3 复二次型的规范形 186

3.4 实二次型规范形惟一性的证明 187

4 实二次型的分类 正定二次型 189

4.1 实二次型的分类 189

4.2 正定二次型与正定矩阵 190

4.3 负定、半正定与半负定二次型 193

1.1 线性空间的定义 196

第七章 线性空间 196

1 线性空间及其子空间 196

1.2 线性空间的基本性质 200

1.3 线性空间的子空间 201

1.4 子空间的交与和 203

2 基与维数 207

3 坐标与坐标变换 215

3.1 向量的坐标 215

3.2 基变换与坐标变换 219

第八章 线性变换 224

1 线性变换及其性质 224

1.1 变换及其运算 224

1.2 线性变换及其性质 225

2.1 线性变换的矩阵 231

2 线性变换的矩阵 231

2.2 线性变换与矩阵的对应关系 235

2.3 线性变换的特征值与特征向量 240

3 线性变换的不变子空间 243

第九章 欧氏空间 246

1 欧氏空间的定义与基本性质 246

1.1 欧氏空间的定义 246

1.2 欧氏空间的基本性质 向量的长度及夹角 248

2 度量矩阵与标准正交基 253

2.1 欧氏空间的度量矩阵 253

2.2 欧氏空间的标准正交基 254

2.3 欧氏空间子空间的正交补 257

3 正交变换与对称变换 260

习题参考答案 267

参考文献 299