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绪论 1

第一章 近世代数与拓扑 4

1.1 代数基本概念 4

1.1.1 逻辑与集合 4

1.1.2 映射、积与关系 6

1.1.3 超穷数、势 8

1.1.4 代数运算，同态与同构 10

1.2 群 11

1.2.1 半群、群、子群与同态 11

1.2.2 变换群、置换群与循环群 13

1.2.3 陪集、不变子群与商群 15

1.2.4 对称群、交错群与正多边形群 17

1.2.5 群论的一些应用实例 18

1.3 环、域与代数 28

1.3.1 环、子环、除环与域 28

1.3.2 理想、同态与剩余类环 29

1.3.3 变换环、代数与张量积 31

1.4 模与范畴 33

1.4.1 模、同态与正合序列 33

1.4.2 自由模与线性空间 34

1.4.3 范畴与态射 35

1.4.4 函子 36

1.5 拓扑空间基本概念 37

1.5.1 Euler定理 37

1.5.2 曲面 39

1.5.3 拓扑空间与拓扑基 40

1.5.4 连续映射与同胚 43

1.5.5 子空间、积空间 45

1.6 拓扑空间基本性质 46

1.6.1 拓扑空间的连通性 46

1.6.2 拓扑空间的分离性公理 48

1.6.3 拓扑空间的紧致性 49

习题 51

参考文献 52

第二章 泛函分析 53

2.1 距离空间 53

2.1.1 距离空间 53

2.1.2 距离空间中的点集 55

2.1.3 连续映射 57

2.1.4 完备的距离空间 58

2.1.5 紧集与列紧集 59

2.1.6 压缩映射原理 61

2.2.1 赋范线性空间 62

2.2 赋范线性空间及Banach空间 62

2.2.2 有界线性算子和连续线性泛函 64

2.2.3 线性算子空间和共轭空间 67

2.2.4 泛函分析中的基本定理 68

2.2.5 共轭算子 72

2.2.6 全连续算子 73

2.2.7 有界线性算子的谱理论 74

2.3 Hilbert空间 76

2.3.1 内积空间 76

2.3.2 投影定理与Riesz表现定理 78

2.3.3 标准正交集与Fourier展式 79

2.3.4 Hilbert空间中的共轭算子和自共轭算子 83

2.4 非线性算子 85

2.4.1 非线性算子的有界性和连续性 86

2.4.2 F－微分和G－微分 88

2.4.3 积分 92

2.4.4 多重线性算子，高阶微分 94

2.4.5 隐函数定理与反函数定理 96

2.5 拓扑度理论 98

2.5.1 Brouwer度 98

2.5.2 Leray-Schauder度 104

2.5.3 不动点定理及其应用 107

习题 110

参考文献 113

第三章 微分流形及其应用 114

3.1 微分流形与可微映射 114

3.1.1 微分流形 114

3.1.2 可微映射 118

3.1.3 切向量和切空间 121

3.1.4 映射的微分、余切向量和余切空间 125

3.1.5 Riemann流形 129

3.2.1 Grassmann代数 131

3.2 微分形式 131

3.2.2 微分形式 133

3.2.3 外微分 135

3.2.4 Poincaré引理和逆命题 138

3.2.5 对偶微分 139

3.2.6 微分形式与向量场的内积 141

3.2.7 Lie导数和Lie代数 142

3.2.8 伴随微分形式、Hodge星算子 150

3.2.9 余微分、调和算子 153

3.2.10 微分形式的一些应用 155

3.3.1 体形式与可定向流形 164

3.3 流形上的积分 164

3.3.2 流形上的积分 167

3.3.3 Stokes定理 168

3.4 临界点理论概述 171

3.4.1 临界点、Sard定理 171

3.4.2 Morse理论 173

3.4.3 横截性理论 176

习题 177

参考文献 179

4.1.1 偏微分方程定义 181

第四章 偏微分方程的现代理论 181

4.1 偏微分方程的基本概念 181

4.1.2 偏微分方程的定解问题 183

4.2 广义函数空间 184

4.2.1 基本函数空间 184

4.2.2 广义函数空间 185

4.2.3 广义函数的结构 191

4.2.4 线性偏微分方程的基本解 192

4.3 Sobolev空间理论 195

4.3.1 整指数Sobolev空间 195

4.3.2 实指数Sobolev空间 196

4.3.3 嵌入定理 199

4.4 线性偏微分方程的基本方法 201

4.4.1 二阶线性椭圆型方程Dirichlet问题的经典解 201

4.4.2 椭圆型方程的广义解及其正则性 208

4.4.3 线性发展方程的Cauchy问题 212

4.5 线性算子半群理论及其应用 217

4.5.1 C0半群理论 217

4.5.2 在发展方程的初始问题中的应用 222

4.6 非线性偏微分方程的一些典型解法 224

4.6.1 KdV方程与孤立子 224

4.6.2 B？cklund变换 225

4.6.3 Hirota双线性直接法 227

4.6.4 Lax对和反散射方法 229

习题 231

参考文献 232

第五章 小波分析及其应用 233

5.1 从频率分析到尺度分析 233

5.1.1 时频局部化问题 233

5.1.2 窗口Fourier变换 234

5.1.3 连续小波变换 236

5.2 框架 238

5.2.1 框架及其对偶 238

5.1.4 奇异信号在小波变换下的特征 238

5.2.2 窗口Fourier框架 240

5.2.3 小波框架 241

5.3 正交小波 241

5.3.1 多尺度分析 241

5.3.2 正交小波的构造 247

5.3.3 快速小波算法 251

5.3.4 小波与函数空间 255

5.3.5 向量小波基 257

5.4 双正交小波基 259

5.5 正交基库与最优算法 261

5.5.1 正交小波包 262

5.5.2 局部正（余）弦基 265

5.5.3 信息花费函数与最优基选择 271

5.5.4 快速近似主因子分析 273

5.6 小波分析应用简介 275

5.6.1 在信号除噪方面的应用 275

5.6.2 在图像压缩方面的应用 277

5.6.3 小波与快速数值计算 278

习题 282

参考文献 282

6.1 引言 284

第六章 随机微分方程 284

6.2 基本知识 285

6.2. 1随机过程 285

6.2. 2随机过程的数字特征和特征函数 287

6.2. 3Markov过程 289

6.2. 4扩散过程 292

6.2. 5Brown运动 293

6.3 随机微积分 295

6.3. 1L2空间 296

6.3. 2随机变量序列的收敛 296

6.3. 3均方连续 301

6.3. 4均方导数 302

6.3. 5均方积分 305

6.4 Ito随机积分 308

6.5 Ito微分公式 313

6.6 Ito随机微分方程 314

6.6. 1解过程的存在性和惟一性 315

6.6. 2解过程的转移概率密度 318

6.6. 3解过程的矩 321

6.7 随机微分方程的一些应用 322

习题 328

参考文献 329

附录 中英文名词索引 330