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预备知识 1

一、集合 1

二、映射 3

三、一元函数 5

习题 16

第一章 极限与连续 19

第一节 微积分中的极限方法 20

第二节 数列极限的定义 24

习题1-2 28

第三节 函数极限的定义 29

一、函数在有限点处的极限 29

二、函数在无穷大处的极限 34

习题1-3 36

第四节 极限的性质 36

习题1-4 40

第五节 极限的运算法则 40

一、无穷小与无穷大 40

二、极限的运算法则 44

习题1-5 48

第六节 极限存在准则与两个重要极限 50

一、夹逼准则 50

二、单调有界收敛准则 53

习题1-6 57

第七节 无穷小的比较 57

一、无穷小的比较 58

二、等价无穷小 59

习题1-7 62

第八节 函数的连续性与连续函数的运算 63

一、函数的连续性 63

二、函数的间断点 65

三、连续函数的运算 67

习题1-8 69

第九节 闭区间上连续函数的性质 70

一、最大值最小值定理 70

二、零点定理与介值定理 71

习题1-9 75

总习题一 76

第二章 一元函数微分学 79

第一节 导数的概念 80

一、导数概念的引出 80

二、导数的定义 81

三、函数的可导性与连续性的关系 85

习题2-1 86

第二节 求导法则 87

一、函数的线性组合、积、商的求导法则 87

二、反函数的导数 91

三、复合函数的导数 93

习题2-2 96

第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数 97

一、隐函数的导数 97

二、由参数方程确定的函数的导数 101

三、相关变化率 103

习题2-3 105

第四节 高阶导数 106

习题2-4 110

第五节 函数的微分与函数的线性逼近 111

一、微分的定义 111

二、微分公式与运算法则 113

三、微分的意义与应用 115

习题2-5 118

第六节 微分中值定理 119

习题2-6 125

第七节 泰勒公式 126

习题2-7 132

第八节 洛必达法则 132

一、？未定式 133

二、？未定式 134

三、其他类型的未定式 135

习题2-8 137

第九节 函数单调性与凸性的判别方法 138

一、函数单调性的判别法 138

二、函数的凸性及其判别法 141

习题2-9 147

第十节 函数的极值与最大、最小值 148

一、函数的极值及其求法 148

二、最大值与最小值问题 151

习题2-10 155

第十一节 曲线的曲率 157

一、平面曲线的曲率概念 157

二、曲率公式 158

习题2-11 162

第十二节 一元函数微分学在经济中的应用 162

总习题二 165

第三章 一元函数积分学 169

第一节 不定积分的概念及其线性法则 170

一、原函数和不定积分的概念 170

二、基本积分表 172

三、不定积分的线性运算法则 173

习题3-1 174

第二节 不定积分的换元积分法 175

一、不定积分的第一类换元法 175

二、不定积分的第二类换元法 179

习题3-2 183

第三节 不定积分的分部积分法 184

习题3-3 187

第四节 有理函数的不定积分 188

习题3-4 192

第五节 定积分 193

一、定积分问题举例 193

二、定积分的定义 195

三、定积分的性质 198

习题3-5 201

第六节 微积分基本定理 202

一、积分上限的函数及其导数 203

二、牛顿-莱布尼茨公式 204

习题3-6 209

第七节 定积分的换元法与分部积分法 210

一、定积分的换元法 210

二、定积分的分部积分法 214

习题3-7 216

第八节 定积分的几何应用举例 218

一、平面图形的面积 219

二、体积 223

三、平面曲线的弧长 225

习题3-8 230

第九节 定积分的物理应用举例 231

一、变力沿直线所作的功 231

二、水压力 233

三、引力 234

习题3-9 235

第十节 平均值 236

一、函数的算术平均值 236

二、函数的加权平均值 237

三、函数的均方根平均值 238

习题3-10 239

第十一节 反常积分 240

一、无穷限的反常积分 240

二、无界函数的反常积分 243

三、Г函数 246

习题3-11 248

总习题三 249

第四章 微分方程 253

第一节 微分方程的基本概念 254

习题4-1 257

第二节 可分离变量的微分方程 257

习题4-2 263

第三节 一阶线性微分方程 264

习题4-3 268

第四节 可用变量代换法求解的一阶微分方程 269

一、齐次型方程 269

二、可化为齐次型的方程 271

三、伯努利方程 273

习题4-4 274

第五节 可降阶的二阶微分方程 275

一、y"=f(x)型的微分方程 275

二、y"=f(x,y＇)型的微分方程 275

三、y"=f(y,y＇)型的微分方程 276

四、可降阶二阶微分方程的应用举例 277

习题4-5 281

第六节 线性微分方程解的结构 282

习题4-6 285

第七节 二阶常系数线性微分方程 286

一、二阶常系数齐次线性微分方程 286

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 289

三、二阶常系数线性微分方程的应用举例 294

习题4-7 300

第八节 高阶变系数线性微分方程解法举例 301

一、解二阶变系数线性微分方程的常数变易法 301

二、解欧拉方程的指数代换法 302

习题4-8 303

总习题四 304

实验 307

实验1 数列极限与生长模型 307

实验2 飞机安全降落曲线的确定 311

实验3 泰勒公式与函数逼近 316

实验4 方程近似解的求法 319

实验5 定积分的近似计算 324

附录 329

附录一 数学软件MATHEMATICA简介 329

附录二 几种常用的曲线 338

习题答案与提示 341

记号说明 363