复变函数PDF电子书下载

第1章 复数与复变函数 1

1.1 复数 1

1.1.1 复数的概念与运算 1

1.1.2 复数的几何意义 2

1.1.3 复数的模与辐角 4

1.1.4 复数的各种表示 4

1.1.5 复数的乘幂与方根 5

1.1.6 范例 6

1.1.7 问题与探索 7

1.2 复平面上的点集 9

1.2.1 平面点集的基本概念 9

1.2.2 复平面上的曲线 10

1.2.3 区域的连通性 11

1.2.4 点列及其收敛性 11

1.2.5 范例 11

1.2.6 问题与探索 13

1.3 无穷远点与复球面 13

1.3.1 概念的引入 14

1.3.2 关于C∞的若干注释 14

1.3.3 问题与探索 15

1.4 复变函数 15

1.4.1 复变函数的概念 16

1.4.2 复变函数的表示方法 16

1.4.3 极限与连续 17

1.4.4 范例 18

1.4.5 问题与探索 18

1.5 背景与历史注记 19

第2章 解析函数 23

2.1 解析函数概念与C-R条件 23

2.1.1 基本概念 23

2.1.2 柯西—黎曼(Cauchy—Reimann)条件 24

2.1.3 范例 26

2.1.4 问题与探索 27

2.2 初等单值解析函数 28

2.2.1 正整次幂函数w=zn(n为正整数) 28

2.2.2 指数函数w=ez 29

2.2.3 三角函数 29

2.2.4 范例 30

2.2.5 问题与探索 31

2.3 初等多值函数 32

2.3.1 辐角函数w=Argz(z∈C{0}) 32

2.3.2 对数函数 34

2.3.3 幂函数 36

2.3.4 一般指数函数和反三角函数 38

2.3.5 范例 38

2.3.6 问题与探索 40

2.4 背景与历史注记 41

第3章 复变函数积分 46

3.1 复积分概念与性质 46

3.1.1 复积分概念 46

3.1.2 复积分的存在性与计算方法 47

3.1.3 复积分的性质 47

3.1.4 范例 48

3.1.5 问题与探索 50

3.2 柯西积分定理 51

3.2.1 定理的建立 51

3.2.2 柯西定理的推广 52

3.2.3 原函数的存在性及其表示 53

3.2.4 范例 53

3.2.5 问题与探索 54

3.3 柯西积分公式 55

3.3.1 公式的引入 56

3.3.2 公式的应用 56

3.3.3 解析函数与调和函数的关系 59

3.3.4 范例 60

3.3.5 问题与探索 62

3.4 背景与历史注记 63

第4章 复级数理论 68

4.1 复级数概念和性质 68

4.1.1 数项级数及其敛散性 68

4.1.2 函数项级数及其一致收敛性 69

4.1.3 幂级数 71

4.1.4 范例 72

4.1.5 问题与探索 73

4.2 解析函数的泰勒展式与唯一性定理 74

4.2.1 泰勒(Taylor)定理 74

4.2.2 零点及其阶 76

4.2.3 唯一性定理 76

4.2.4 范例 77

4.2.5 问题与探索 79

4.3 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 80

4.3.1 双边幂级数及其性质 81

4.3.2 罗朗定理 82

4.3.3 孤立奇点及其类型分析 83

4.3.4 范例 86

4.3.5 问题与探索 88

4.4 整函数与亚纯函数 89

4.4.1 解析函数在点∞的性质 89

4.4.2 整函数及其分类 91

4.4.3 亚纯函数及其类型 91

4.4.4 范例 92

4.4.5 问题与探索 94

4.5 背景与历史注记 95

第5章 残数理论及其应用 99

5.1 残数 99

5.1.1 残数概念及残数定理 99

5.1.2 残数的计算 101

5.1.3 无穷远点的残数 102

5.1.4 范例 103

5.1.5 问题与探索 105

5.2 应用残数计算实积分 107

5.2.1 ？R(cosθ,sinθ)dθ型积分 107

5.2.2 ？dx型积分 108

5.2.3 ？dx型积分 108

5.2.4 范例 109

5.2.5 问题与探索 113

5.3 辐角原理与儒歇定理 114

5.3.1 辐角原理 114

5.3.2 儒歇定理及其应用 116

5.3.3 范例 118

5.3.4 问题与探索 120

5.4 背景与历史注记 121

第6章 保形变换 124

6.1 解析变换的几何特性与保形变换概念 124

6.1.1 解析变换的若干性质 124

6.1.2 导数的几何意义与保形变换概念 126

6.1.3 范例 128

6.1.4 问题与探索 130

6.2 线性变换 131

6.2.1 线性变换及其分解 131

6.2.2 线性变换的四个保持性质 133

6.2.3 三个重要的线性变换 136

6.2.4 范例 138

6.2.5 问题与探索 140

6.3 若干初等变换及其应用 141

6.3.1 初等函数构成的保形变换 142

6.3.2 初等变换的应用举例 143

6.3.3 问题与探索 145

6.4 黎曼存在定理与边界对应定理 146

6.4.1 黎曼存在及唯一性定理 146

6.4.2 边界对应定理 147

6.5 背景与历史注记 149

附录 问题与探索参考解答 153

参考文献 197