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目录 1

第一章 总论 1

1．何谓解析几何，它是怎样产生的？ 1

2．解析几何的方法、内容和发展概况如何，学习解析几何有什么意义？ 4

3．解析几何教材有哪些基本处理手法和安排体系？ 6

4．在解析几何教学中应着重注意哪些问题？ 8

5．在解析几何解题中应注意掌握哪些技能技巧？ 10

第二章　关于点的坐标与常用公式 22

6．有向线段与向量有无区别，有向线段、有向线段的数量与有向线段的长度三者之间有什么关系？ 22

7．怎样证明沙尔定理，它在解析几何中有什么作用？ 23

8．平面直角坐标系有哪些要素，原点是否一定要取在两轴的交点处，两轴上的单位长能否不一致？ 25

9．什么叫平面斜坐标系，平面直角坐标与斜坐标的互换公式是怎样的？ 27

10．数学中为什么要引进坐标的概念，构成坐标的通则是什么？ 29

11．平面解析几何中有哪些基本公式，它们之间有何内在的联系？ 32

12．如何计算平面简单多边形的面积？如何用分点公式求重心 38

第三章 曲线与方程 45

13．如何深刻理解曲线与方程的概念？ 45

14．求曲线的方程有哪些主要步骤，并需要注意些什么问题？ 47

15．在求曲线的方程时，究竟要不要进行证明？ 52

16．由方程画曲线一般有哪些主要步骤？ 57

第四章 关于直线 60

17．二元一次不等式的几何意义是什么，如何确定二元一次不等式组所表示的平面区域？ 60

18．如何推导点到直线的距离公式，在应用此公式时，又如何去掉绝对值的符号？ 64

19．什么叫直线系方程，研究直线系方程有何意义？ 68

20．什么叫解析法证题，它与解析几何的方法证题、代数法证题各有什么区别？ 73

21．解析法证题有哪些主要步骤，实施中应注意掌握哪些技能技巧？ 76

22．什么叫直线型经验公式，建立直线型经验公式有哪些常用的方法，各有何优缺点？ 80

第五章 关于圆锥曲线 87

23．圆的方程有哪些形式，它有何特征，为什么说由三个条件才能确定一个圆？ 87

24．何谓共轴圆系，它有什么性质和应用？ 89

25．为什么将椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线，它们的统一定义与方程是怎样得到的？ 91

26．如何用解析法证明平面与圆锥面相截，所得的截线是椭圆、双曲线或抛物线？ 97

27．建立椭圆、双曲线的标准方程时，应如何论证方程的同解性？ 100

28．为什么说离心率相等的两个圆锥曲线是相似的？ 103

29．椭圆和双曲线各有哪些常见的几何画法？ 105

30．椭圆有哪几种四心画法，为什么说由四段圆弧所连成的是两两吻接的？ 110

第六章 关于二次曲线的一般理论 116

31．直线与二次曲线至多有几个交点，为什么？ 116

32．为什么说圆锥曲线的直径都可认为是直线，研究圆锥曲线的直径与共轭直径有何意义？ 118

33．如何求二次曲线的对称轴，二次曲线共有多少条对称轴？ 122

34．如何求二次曲线的渐近线？ 126

35．如何求经过定点或给定斜率的二次曲线的切线方程，又如何判别定点在二次曲线的内域还是外域？ 130

36．两曲线相切的充要条件是什么，解有关这类习题时应注意什么？ 135

37．何谓二次曲线的极点与极线，引进这两个概念有何意义？ 139

38．坐标变换与点变换之间有何联系与区别？ 141

39．在移轴变换下二次方程有何变化规律，利用移轴变换能否消去方程中的xy项？ 146

40．在转轴变换下二次方程有何变化规律，利用转轴变换能否消去方程中的y2（或x2）项？ 148

41．如果选择双曲线的一条渐近线为坐标轴，那么它的方程成为什么形式？ 153

42．何谓二次曲线方程的不变量，研究其不变量有何意义，如何用不变量表示离心率、焦参数等几何量？ 155

43．如何判别二次曲线的类型，如何确定二次曲线的位置以及抛物线的开口方向？ 158

44．怎样化简一般二元二次方程最简捷？ 163

45．研究二次曲线族有何意义，有哪些常见的二次曲线族方程？ 173

第七章 关于二次曲线的应用 177

46．如何具体鉴别一段圆锥曲线弧，如何简便地画抛物线弧？ 177

47．求两条二次曲线的交点有何简便的计算方法，应用这种方法又如何解一元四次方程？ 182

48．如何运用伸缩变换来研究椭圆的性质？ 186

49．如何计算椭圆的周长？ 190

50．何谓双曲线时差定位图，其绘制原理与使用方法是怎样的？ 194

第八章 关于参数方程 197

51．化参数方程为普通方程有何作用，有哪些基本的方法，并应注意些什么问题？ 197

52．化曲线的普通方程为参数方程有何作用，选择参数的原则与方法各是怎样的？ 202

53．如何选取参数建立轨迹的方程，又如何利用参数与变换解轨迹题？ 207

54．如何讨论参数方程的曲线？ 216

第九章 关于极坐标 221

55．为什么要引进广义极坐标与曲线极坐标方程通式、特式的概念，在广义极坐标系中如何正确理解曲线与方程的对应关系？ 221

56．何谓曲线的周期，它与曲线ρ=f（θ）的特式以及函数f（θ）的周期有什么关系？ 225

57．研究直角坐标方程与极坐标方程的互化有何作用，在互化中各应注意什么问题？ 228

58．如何求曲线的极坐标方程，在求曲线极坐标方程时应注意些什么问题？ 234

59．如何讨论极坐标方程的曲线？ 239

60．如何求极坐标系中两曲线的交点？ 244

61．如何简便地推导旋轮线和圆内外旋轮线的统一方程，又如何正确地对它们进行分类？ 249

62．为什么说椭圆、帕斯卡蜗线和玫瑰线都是圆内外旋轮 258

线的特例？ 258

63．尖旋轮线为何又称为最速降线和摆线，摆线的等时性是怎么一回事？ 264

64．何谓圆的广义渐伸线，为什么说它是圆外旋轮线的极限情形，而圆的渐伸线、阿基米德螺线又都是它的特例？ 269

65．如何推导天体运行的轨道方程p=？与人造地球卫星的周期T=？？ 273

66．三种宇宙速度是如何推得的，它与天体的运行轨道有何关系？ 278

第十章 有关空间解析几何中的一些问题 283

67．向量是怎样产生的，在解析几何的研究中引入向量有何意义？ 283

68．为什么应用向量解决几何问题往往会简便些？ 284

69．如何推导空间绕定直线的旋转变换公式？若知旋转变换，又如何确定旋转轴和旋转的角度？ 289

70．如何计算空间简单多边形的面积？ 293

71．如何计算空间四面体的体积？ 299

72．如何求关于定点？定平面对称的曲面与曲线的方程？ 303

73．如何画二次曲面的直观图？ 306

74．求动曲线的轨迹方程时，如何消去参数？ 311

75．如何求二次曲面的对称平面和二次曲面的基本不变量及半不变量？ 319

76．化简二次曲面的方程有何简捷的方法，又如何判别二次曲面的类型？ 328

77．如何确定二次曲面的位置，又如何确定抛物柱面和抛物面的开口方向？ 335

78．二次直纹面有哪些重要的应用？ 343

参考书目 348