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目录 1

第一章　线性空间 1

§1　集合与映射 1

1.1 集合的概念 1

1.2　集合的运算 2

1.3 映射 6

1.4 数量乘法和加法 7

1.5 数域 8

习题1.1 9

§2　线性空间的定义 10

2.1 线性空间的定义 10

2.2 线性空间的简单性质 12

2.3 常用线性空间 13

习题1.2 17

§3　线性相关性 18

3.1 线性相关性 18

3.2　极大无关组 24

§4　基·维数·坐标 25

4.1　基、维数和坐标 25

习题1.3 25

4.2 基变换与坐标变换 28

习题1.4 30

§5 子空间的运算 31

5.1 由向量组生成的子空间 31

5.2 子空间的交与和 32

5.3 子空间的直和 34

习题1.5 36

6.1 线性空间的同构 37

§6 线性空间的同构 37

6.2 极大无关组的初步求法 39

习题1.6 43

第二章 矩阵和线性方程组 45

§1 矩阵运算和逆矩阵 45

1.1 矩阵乘法及其运算规律 45

1.2 矩阵的转置 50

1.3 矩阵的逆 51

习题2.1 52

§2　分块矩阵和矩阵的秩 54

2.1 分块矩阵及其运算法 54

2.2 矩阵的秩 56

习题2.2 63

§3　可逆矩阵 65

3.1 矩阵可逆的条件 65

3.2 逆矩阵的求法 66

3.3　最简矩阵方程 67

习题2.3 70

§4　线性方程组解的理论 72

4.1 线性方程组有解的条件 73

4.2 齐次线性方程组的解空间 76

4.3 非齐次线性方程组的通解 80

习题2.4 82

§5 极大无关组的求法 85

习题2.5 89

第三章 行列式 90

§1 行列式的定义 90

1.1 排列 90

1.2 行列式的定义 92

习题3.1 95

§2 行列式的性质 96

习题3.2 103

§3 按行列展开 104

3.1 按一行（列）展开 105

3.2 按几行（列）展开 109

习题3.3 112

§4 矩阵与行列式的关系 115

4.1 矩阵的秩与行列式的关系 115

4.2 矩阵乘积的行列式 116

4.3 用行列式表示逆矩阵 116

习题3.4 118

§5 克莱姆（Cramer）法则 119

习题3.5 122

第四章 线性变换 124

§1 线性变换的运算及性质 124

习题4.1 125

§2 线性变换的矩阵 126

2.1 线性变换的矩阵 126

2.2 线矩映射 128

2.3 相似矩阵 130

习题4.2 132

§3 线性变换的值域与核 134

§4 特征值·特征向量·特征多项式 137

习题4.3 137

习题4.4 146

§5 可对角化的矩阵 147

习题4.5 151

§6 不变子空间 152

习题4.6 155

第五章 欧氏空间 157

§1 欧氏空间的定义和基本性质 157

1.1 欧氏空间的定义 157

1.2 欧氏空间的基本性质 159

习题5.1 162

§2 标准正交基·正交补·正交矩阵 163

2.1 标准正交基 163

2.2 正交补 166

2.3 正交矩阵 167

习题5.2 169

§3 欧氏空间的同构与正交变换 170

3.1 欧氏空间的同构 170

3.2 正交变换 171

习题5.3 174

§4 对称变换·实对称矩阵的标准形 175

4.1 对称变换 175

4.2 实对称矩阵的标准形 177

习题5.4 180

§5 酉矩阵和埃尔米特矩阵简介 181

5.1 复内积空间 182

5.2 酉矩阵和埃尔米特矩阵 183

习题5.5 185

§1 二次型的矩阵表示法 186

第六章 二次型 186

习题6.1 190

§2 化二次型为标准形 191

习题6.2 197

§3 规范形 198

习题6.3 202

§4 正定二次型 203

习题6.4 208

第七章 多项式理论 210

§1 带余除法和综合除法 210

1.1 基本概念 210

1.2 带余除法 211

1.3 整除的性质 214

1.4 综合除法 215

习题7.1 216

§2 最大公因式与最小公倍式 217

2.1 最大公因式 217

2.2 最小公倍式 221

习题7.2 222

§3 因式分解定理 223

3.1 不可约多项式及其基本性质 223

3.2 因式分解定理 224

习题7.3 226

§4 重因式及多项式函数 226

4.1 重因式 226

4.2 多项式函数 228

习题7.4 230

§5 复系数与实系数多项式的因式分解 231

习题7.5 233

§6 有理系数多项式 234

§7 多元多项式 238

7.1 多元多项式及其运算 238

习题7.6 238

7.2 多元多项式函数 241

习题7.7 242

§8 对称多项式 243

习题7.8 247

第八章 λ－矩阵 249

§1 λ－矩阵 249

习题8.1 251

§2 λ－矩阵的标准形 252

习题8.2 255

§3 行列式因子和不变因子 256

习题8.3 259

§4 数字矩阵相似的条件 260

习题8.4 263

§5 初等因子 263

习题8.5 268

§6 若当标准形 269

习题8.6 274

§7 最小多项式 275

习题8.7 281

附录 部分习题答案、提示或选解 283