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第一章 逻辑知识概要 1

Ⅰ.1 概念 1

(1)概念的意义 1

(2)内涵与外延 1

(3)外延表示与概念间的关系 1

(4)弄清概念的重要性 2

习题Ⅰ.1 3

Ⅰ.2 概念的划分 3

(1)概念划分的意义 3

(2)概念划分的要素 4

(3)概念划分的规则 4

习题Ⅰ.2 5

Ⅰ.3 判断 5

(1)判断的意义 5

(5)判断的否定 6

(4)判断的结构 6

(3)判断与语句 6

(2)判断的真假 6

(6)带量词的判断 7

(7)全称判断的真假及其否定 7

(8)复合判断 7

(9)复合判断的否定 8

习题Ⅰ.3 9

(2)命题的真假 10

(1)命题的结构 10

Ⅰ.4 命题与定理 10

(3)命题同选言判断的关系 11

(4)命题与定理 11

(5)充分条件和必要条件 11

(6)充分必要条件——等值性 12

(7)命题的四种形式 12

(8)原命题与逆反命题的等价性 13

(9)逆命题的推广 14

习题Ⅰ.4 19

Ⅰ.5 推理与证明 20

(1)推理的意义 20

(2)推理的构成 20

(3)推理的法则 21

(4)证明的意义 22

(5)证明的结构 22

(6)证明的类型 22

(7)归纳法 23

习题Ⅰ.5 24

Ⅰ.6 间接证法 25

(1)间接证法的意义 25

(2)反证法的格式 26

(3)反证法的应用 27

1)存在性定理 27

2)唯一性定理 30

3)否定性的命题 31

4)逆命题 35

5)直接难证的命题 37

(4)穷举法 41

(5)划分法 42

(6)同一法 45

习题Ⅰ.6 50

第二章 几何证题法概论 52

Ⅱ.1 辨题 52

(1)剖析已知与求证 52

(2)绘出符合题意的图形 52

(3)标明并突出某些重要关系 55

习题Ⅱ.1 55

Ⅱ.2 探索 55

(1)综合法 56

(2)分析法 58

(3)转化法 61

(4)对比法 68

习题Ⅱ.2 85

Ⅱ.3 表述 87

(1)表格式 88

(2)陈述式 89

(3)图解式(框图式) 90

习题Ⅱ.3 91

Ⅱ.4 深究 91

(1)寻求更优的解法 91

(2)比较各种解法的优劣 93

(3)考察问题的反面 96

(4)推广题意 98

(5)多方应用 104

习题Ⅱ.4 112

第三章 辅助线的作用与引法 114

Ⅲ.1 辅助线的作用 114

Ⅲ.2 引辅助线的原则 114

(1)集中利用已知条件 114

(2)促使已知向求证过渡 116

(3)等价简化 119

(4)为引用定理创造条件 125

Ⅲ.3 补遗——引不出适当的辅助线时怎么办？ 128

(1)充分发挥已知条件的特性 128

(2)结合代数方法 130

(3)结合三角方法 134

(4)利用反证法 136

习题Ⅲ 140

第四章 证法杂谈 142

Ⅳ.1 中位线的利用 142

(1)中位线定理及其作用 142

(2)中位线定理应用之例 143

习题Ⅳ.1 171

Ⅳ.2 重心的利用 172

(1)重心定理及其作用 172

(2)重心定理应用之例 172

习题Ⅳ.2 191

Ⅳ.3 全等形的利用 192

(1)全等形定理及其作用 192

(2)全等形定理应用之例 193

习题Ⅳ.3 204

Ⅳ.4 直角三角形的利用 205

(1)勾股定理及其逆的应用 205

(2)勾股定理的推广及其应用 214

(3)射影定理及其应用 219

(4)斜边中点的特性及其应用 225

(5)特殊角的特性及其应用 230

习题Ⅳ.4 241

Ⅳ.5 直径的转化 242

(1)直径转化的意义 242

(2)直径转化的应用 242

习题Ⅳ.5 258

(1)和圆有关的等角定理及其应用 259

Ⅳ.6 和圆有关的等角定理之利用 259

(2)和圆有关的等角定理的应用 260

习题Ⅳ.6 286

Ⅳ.7 圆幂定理的利用 288

(1)圆幂定理及其作用 288

(2)圆幂定理的应用 289

习题Ⅳ.7 314

(2)连心线与公切线的应用 315

(1)连心线与公切线之媒介作用 315

Ⅳ.8 连心线与公切线的利用 315

习题Ⅳ.8 322

索引 323

(一)国际数学奥林匹克 323

(二)国外数学竞赛题 323

(三)国内数学竞赛题 324

(四)重要定理及公式 325

主要参考书目 325