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第一章 集合与映射 1

1.1 集和集的运算 1

1.2 映射与逆映射 6

1.3 对等与基数 9

1.4 可列集与不可列集 11

习题 14

第二章 点集 16

2.1 基本概念 16

2.2 开集·闭集 21

2.3 开集和闭集的构造 25

2.4 完全集·稠密集 27

2.5 哥西(Cauchy)点列与点集的完备性 29

2.6 点集的确界与确界存在定理 31

2.7 紧集 33

习题 36

第三章 度量空间 38

3.1 度量空间及其例子 38

3.2 度量空间进一步例子 44

3.3 度量空间中的点集 52

3.4 度量空间中的极限.稠密集.可分空间 54

3.5 连续映射 60

3.6 哥西点列和完备度量空间 66

3.7 度量空间的完备化 74

3.8 压缩映射原理及其应用 76

3.9 度量空间中的紧集 81

习题 89

4.1 线性空间 94

第四章 线性赋范空间与巴拿赫(Banach)空间 94

4.2 线性赋范空间与巴拿赫空间 99

4.3 线性算子和线性泛函的定义 108

4.4 线性有界算子 111

4.5 线性算子空间 118

4.6 有界线性泛函与共轭空间 123

4.7 泛函延拓定理 132

4.8 共轭算子 136

4.9 逆算子、逆算子定理 142

4.10 闭图象定理 147

4.11 一致有界定理 150

4.12 线性赋范空间中的几种收敛概念 154

4.13 凸集 158

习题 161

第五章 内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间 167

5.1 内积空间和希尔伯特空间的基本概念 167

5.2 正交性与投影定理 174

5.3 内积空间的正交系 185

5.4 希尔伯特空间的自共轭性 201

5.5 希尔伯特空间伴随算子 204

习题 213

第六章 线性算子谱论简介 218

6.1 谱的概念 218

6.2 有界线性算子谱的基本性质 221

6.3 有界自伴线性算子谱的基本性质 225

6.4 自伴全连续算子的特征展开 227

习题 233

7.1 算子的微分 235

第七章 泛函的极值 235

7.2 泛函的极值 243

7.3 具有等式约束的极值 248

附录Ⅰ 实数与极限论 256

Ⅰ.1 有理数 256

Ⅰ.2 实数 258

Ⅰ.3 关于实数列的极限理论 263

Ⅱ.1 连续函数 268

附录Ⅱ 连续函数和函数列一致收敛 268

Ⅱ.2 函数列的收敛与一致收敛的概念 270

附录Ⅲ 数集的测度与可测函数 273

Ⅲ.1 数集的测度 273

Ⅲ.2 可测函数 281

附录Ⅳ 勒贝格积分 287

Ⅳ.1 黎曼(Riemann)积分定义 287

Ⅳ.2 勒贝格积分定义 290

Ⅳ.3 勒贝格积分的性质及积分的极限定理 298