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第一章 气体动力学基础 1

一、气体动力学问题的数学模型 1

1．1 连续介质的定义 1

1．2 连续介质的特点 2

1．3 描写连续介质运动的拉格朗日坐标与欧拉坐标 4

1．4 拉格朗日坐标与欧拉坐标之间的关系 5

二、积分形式的气体动力学方程 7

2．1 欧拉变量的气体动力学方程 7

2．2 拉格朗日变量的气体动力学方程 11

2．3 一维气体流动的积分方程 12

三、微分形式的气体动力学方程 14

3．1 欧拉变景的微分方程 14

3．2 拉格朗日变量的微分方程 16

3．3 一维不定常气体运动的微分方程 18

3．4 拉格朗日质量坐标下的气体动力学方程 19

3．5 拉格朗日质量坐标下气体动力学问题的特点 21

3．6 柱对称和球对称流动的拉格朗日坐标 23

3．7 体积改变法则 27

3．8 能量方程的不同形式 28

四、 一维不定常双曲型气体动力学方程组 32

4．1 气体动力学问题的声学近似 32

3．9 拉格朗日坐标下的积分方程 32

4．2 声速 35

4．3 拟线性双曲型方程组 37

4．4 气体力学方程组的特征形式 38

4．5 黎曼（Riemann）不变量 40

五、间断解 43

5．1 间断关系式 43

5．2 接触间断 45

5．3 激波——雨果尼奥（Hugoniot）绝热曲线 45

5．4 理想气体中的激波 46

5．5 切姆普林（Цимплен）理论 48

5．6 强激波的极限解 49

六、激波波阵的结构 51

6．1 问题的提法 51

6．2 粘性介质激波波阵的结构 53

6．3 有热传导的激波波阵结构 56

6．4 等温跳跃 58

七、活塞问题 59

7．1 问题的提法 59

7．2 自模拟解 60

7．3 活塞向气体作加速运动的问题 63

7．4 活塞背向气体运动的问题 65

8．1 问题的提法 69

八、黎曼问题 69

8．2 问题的解析解 70

九、变截面管道流动的气体动力学方程组 72

9．1 欧拉坐标下的基本方程组 72

9．2 拉格朗日坐标下的基本方程组 75

第二章 气体动力学方程组的完全守恒型差分格式 77

一、差分格式的基本概念 77

1．1 概述 77

1．2 网格 77

1．4 微分算子的差分逼近 79

1．3 网格函数和网格函数的范数 79

1．5 逼近误差 80

1．6 用差分方程逼近微分方程 81

1．7常用符号和公式 85

二、数值计算中的非等步长问题 86

2．1 概述 86

2．2 格距逐渐变化的非均匀网格 89

2．3 被广泛采用的一种格距逐渐变化的非均匀网格差分格式 90

2．4 坐标变换法 92

2．5 结束语 93

3．1 差分问题的提法 94

三、守恒型差分格式与非守恒型差分格式 94

3．2 建立气体力学差分格式的例子 95

3．3 差分格式的分析 98

3．4 守恒型差分格式和非守恒现象的例子 101

3．5 积分插值法 106

3．6 气体力学方程组守恒型格式的分析 108

四、完全守恒型差分格式 109

4．1 问题的提法 109

4．2 格式的完全守恒条件 112

4．3 守恒型差分格式族的分析 115

4．4 柱对称和球对称气体力学方程的完全守恒型差分格式族 117

4．5 一维变截面管道内流动的完全守恒型差分格式族 119

五、齐次差分格式和人工粘性 123

5．1 概述 123

5．2 间断解的计算 123

5．3 人工粘性 125

5．4 边界结点上的差分格式 128

5．5 大面积计算时计算范围的确定法 130

5．6 网格上的积分关系 130

5．7 两种气体的分界面 132

六、数值计算结果 134

6．1 实验课题的选择 134

6．3 隐式非守恒余项的估计 135

6．2 按非守恒型差分格式的计算结果 135

6．4 守恒型差分格式积分形式余项的估计 137

6．5 守恒型格式与完全守恒型格式的差别 138

七、热传导方程的差分格式 141

7．1 热传导方程的守恒型差分格式 141

7．2 热导率的逼近 143

7．3 边界条件的提法 145

7．4 某些解析解 147

一、差分格式稳定性的理解 151

1．1 格式的收敛性 151

第三章 气体力学差分格式的稳定性 151

1．2 差分格式的适定性与稳定性 152

1．3 声学方程——气体力学方程的线性模型 154

1．4 线性传输方程 155

二、传输方程差分格式的稳定性、谱方法和极值原理 156

2．1 传输方程的差分格式 156

2．2 调和法 157

2．3 差分格式y？+ays=0的稳定性分析 158

2．4 谱方法 158

2．5 差分格式y?+ays=0的稳定性分析 159

2．6 极大值原理 160

2．7 几何解释 161

2．8 中心差分格式 164

2．9 隐式差分格式 164

三、差分格式稳定性分析的能量方法 169

3．1 一些定义 169

3．2 共轭算子 170

3．3 用能量法分析差分格式的稳定性 171

四、包含两个方程的方程组差分格式的稳定性 174

4．1 用调和法分析“十字”差分格式的稳定性 174

4．2 微分问题的能量关系式 176

4．3 差分格式的能量关系式 177

4．4 完全守恒型差分格式的稳定性 178

4．5 显式完全守恒型格式的改进及稳定性分析 182

4．6 变截面管道流动完全守恒型差分格式的稳定性 183

4．7 “十字”格式稳定的充分条件 184

五、粘性对差分格式稳定性的影响 186

5．1 带粘性的传输方程 186

5．2 格式yi+ay?=vys?的稳定性 187

5．3 带粘性的“十字”格式的稳定性 188

5．4 带粘性的传输方程的中心差分格式 189

六、热传导方程差分格式的稳定性 190

6．1 稳定性的必要条件 190

6．2 稳定性的充分条件 192

6．3 渐近稳定性 194

七、用能量法分析热传导方程混合问题的平均稳定性 196

7．1 热传导方程混合问题及四点隐式格式 196

7．2 平均稳定性定义 197

7．3 差分计算中的符号和恒等式 198

7．4 四点隐式格式的平均稳定性 199

7．5 热传导方程混合问题六点隐式格式的平均稳定性 201

八、其它几种分析稳定性的方法 203

8．1 赫特（Hirt）启发式分析法 203

8．2 离散点扰动的稳定性分析 207

8．3 冯·诺依曼（Von Neumann）稳定性分析 211

8．4 冯·诺依曼方法在多维问题上的应用 214

九、稳定性理论的实际应用 216

9．1 用赫特启发式分析法对一维气体动力学方程的鲁萨诺夫（Pycaнов）格式进行改进 216

9．2 冯·诺依曼方法对变截面管道流动问题差分格式的稳定性分析 219

9．3 数值计算中某些摆动现象的分析 223

9．4 冯·诺依曼方法对变截面管道流动问题的完全守恒型差分格式的稳定性分析 225

第四章 气体动力学方程组差分格式的求解 229

一、显式格式及简单迭代法 229

1．1 显式格式的求解 229

1．2 隐式格式的简单迭代法 230

1．3 迭代过程的收敛性 231

2．1 求解非线性方程的牛顿法 233

二、牛顿法和追赶法 233

2．2 追赶法 235

2．3 矩阵追赶法 238

三、牛顿法在气体力学差分方程中的应用 240

3．1 等温情形 240

3．2 迭代过程的收敛性 245

3．3 牛顿迭代法在等温激波计算中的收敛条件 251

3．4 绝热情况隐式完全守恒格式的牛顿迭代公式 252

四、边界条件 256

4．1 速度的边界条件 256

4．2 压力的边界条件 257

5．1 方程组的无量纲化 259

五、对求解气体力学问题的一些建议 259

5．2 程序设计的模块化 263

5．3 利用准确解调试程序 264

六、用完全守恒型格式计算黎曼问题的算例 265

6．1 问题的提法 265

6．2 数值结果的分析及比较 265

附录 269

附录1 隐式完全守恒格式计算黎曼问题的框图及程序 269

附录2 欧拉坐标下的一个气体力学完全守恒型差分格式 273

参考文献 278