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第一章 极限方法 1

1.1 基本事项及其注释 1

1.1-1 极限的定义 1

1.1-2 关于极限概念的一些注释 3

一 从瞬时速度看函数在一点的极限 3

二 函数在一点的两种值——极限值与函数值的区别与联系 5

三 极限精确定义的两种等价形式 6

四 诸种极限之间的异同比较 6

五 极限运算与四则运算的比较 8

六 有关极限的一些例子 9

1.1-3 极限的一些性质 12

1.1-4 关于极限性质的一些注释 15

1.1-5 函数的连续性 17

1.1-6 关于连续性的一些注释 18

一 函数在一点连续性定义的三要素 18

二 函数在一点连续性定义的几种等价的表述形式 19

三 有关连续性的一些例子、不连续点 20

四 关于函数极限定义的进一步注释 22

1.2 极限与连续的基本理论选讲 23

1.2-1 极限的精确定义 23

1.2-2 用极限定义论证极限举例 注(关于用极限定义论证极限的特点与要点) 26

1.2-3 用极限定义论证极限与连续的基本性质 注(关于用极限定义论证问题的一般特点) 37

1.2-4 极限理论中一些基本定理的证明 注(区间套方法分析之一、之二) 48

1.3 极限计算法 71

1.3-0 未定式极限，关于极限类型的初步说明 71

1.3-1 十类基本极限的计算法 72

类型Ⅰ 一些基本极限 72

类型Ⅱ 初等函数在定义区间上任意点处的极限 73

类型Ⅲ 分段函数在“分点”的极限 74

类型Ⅳ 代数式呈?型未定式的极限 77

类型Ⅴ 代数式呈?型未定式的极限 81

类型Ⅵ 代数式呈∞-∞型未定式的极限 85

类型Ⅶ 含三角函数与反三角函数的未定式的极限 87

类型Ⅷ 幂指式且呈1∞型未定式的极限 90

类型Ⅸ 一些典型数列的极限 92

类型Ⅹ 杂题 101

1.3-2 求极限方法小结 106

1.4 极限方法的初步应用 109

1.4-1 无穷多项之和与无限小数 109

1.4-2 初等几何图形的长度、面积与体积 112

1.4-3 指数函数与对数函数若干基本性质的证明 114

1.4-4 基本初等函数的特征性质 116

第二章 微分法 124

2.1 基本事项及其注释 124

2.1-1 导数的定义与基本初等函数的导数公式 124

2.1-2 关于导数概念的一些注释 124

一 导数概念的实际意义 124

二 有限导数与无穷导数，非竖直的与竖直的切线 126

三 双侧导数与单侧导数，双侧切线与单侧切线 126

四 函数在一点连续与可导的比较 130

五 导数是函数相对于自变量的局部变化率 131

六 有关导数的几个例子 132

2.1-3 导数的运算法则 134

2.1-4 关于导数公式与法则的一些注释 135

一 导数公式的一些特点 135

二 弧度制与以 e 为底的指数函数与对数函数的优越性 135

三 导数法则的一些特点 136

四 导数公式与法则的一些特点(续) 137

2.1-6 微分法的法则 138

2.1-5 微分的定义与几何解释 138

2.1-7 关于微分的一些注释 139

一 关于导数与微分、可导与可微的比较 139

二 微分与增量 139

三 关于微分的形式不变性 141

2.1-8 高阶导数与高数微分 141

2.1-9 由微分中值定理导出的一些判别法与洛比塔法则 142

2.1-10 关于判别法的一些注释 145

一 微分中值定理及其在微积分学基本理论中的应用举例 146

2.2 微分学基本理论选讲 146

2.2-1 微分中值定理及其基本应用的规律性 146

二 微分中值定理的一些基本应用及其规律性 149

三 基本规律的例外 155

四 小结 156

2.2-2 拉格朗日定理证法研究 156

一 “辅助函数”的一般表达式 156

二～四 拉格朗日定理的证法之一～之三 158

2.3 导数计算法 162

2.3-1 初等函数与分段函数的导数 162

2.3-2 隐函数的导数 172

2.3-3 由参数方程所表示的函数的导数 174

2.3-4 高阶导数 176

2.4 微分法的一些基本应用 184

2.4-1 作为函数变化率的导数——直接归结为导数的一些问题 184

一 利用洛比塔法则求极限 188

2.4-2 极限计算法(续一) 188

二 综合运用各种方法求极限 194

三 极限计算法(续一)小结 199

2.4-3 曲线的切线作法及与切线有关的一些应用 200

2.4-4 关于函数值的若干计算公式 210

一 函数的近似公式与近似计算 210

二 三角函数表的编造原理 217

三 函数不等式 218

四 函数恒等式 224

2.4-5 最大、最小值应用问题 227

2.4-6 函数变化状态的研究——函数作图 242

一 曲线渐近线的概念与求法 243

二 用微分法作显函数的图象 251

三 微分作图法要点分析 261

2.5 微分法小结——微积分方法特点探讨之一 263

3.1 基本事项及其注释 264

3.1-1 不定积分 264

第三章 积分法 264

3.1-2 关于不定积分的注释 267

一 关于原函数与不定积分定义的注释 267

二 导出不定积分公式与法则的一个基本的思想方法 268

三 导数法则与积分法则的比较——积分法则的特殊性以及由此而产生的新问题 270

3.1-3 定积分 272

3.1-4 关于定积分的注释 275

一 关于定积分定义的注释 275

二 关于微积分基本概念之间的联系 278

3.2 积分计算法 279

3.2-1 怎样求不定积分 279

一 九类不定积分问题及其基本解法 281

类型Ⅰ 形如 ∫f〔?(x)〕?(x)dx 的积分，其中 ?(x)为基本或较简单的初等函数——应用换元法则的简单例子 281

类型Ⅱ 被积函数可以分项的积分——应用线性法则的简单例子 286

类型Ⅲ 被积函数是两个因子的乘积且至少有一个因子是初等超越函数的积分——主要应用分部积分法的简单例子 291

类型Ⅳ 有理函数的积分 300

类型Ⅴ 无理函数的积分(之一)——形如 ∫R(x，?)dx 的积分 309

类型Ⅵ 无理函数的积分(之二)——形如 ∫R(x，?)dx 的积分 312

类型Ⅶ 无理函数的积分(之三)——形如 ∫x2(α+bxβ)?dx 的积分 323

类型Ⅷ 三角函数有理式的积分，即形如 ∫R(sinx，cosx)dx 的积分 326

类型Ⅸ 杂例 333

二 一题多解法 340

3.2-2 定积分计算法 345

3.3 积分法的一些基本应用 356

3.3-1 极限计算法(续二)——应用定积分求一类数列的极限 356

3.3-2 微元法原理与应用举例 361

3.3-3 面积 379

3.3-4 体积 391

3.3-5 两种积分均值在交流电路中的应用 402

3.3-6 最简微分方程 407

一 微分方程的基本概念 407

二 几类最简微分方程的解法 410

三 微分方程应用问题解法分析与举例 418

3.4 积分法小结——微积分方法特点探讨之二 434