特殊函数及其应用PDF电子书下载

第一章 绪论 1

1.1 数学场论 2

一 标量场 u＝u(x，y，z) 的梯度 2

二 矢量场→A＝Ax→i+Ay→j+Az→R 的散度 3

三 矢量场→A＝Ax→i+Ay→j+Az→R 的旋度 5

四 有势场(保守场) 6

五 管形场(无源场) 7

六 劈形算符 7

七 格林公式 8

1.2 正交曲线坐标系 9

一 一般正交曲线坐标系 9

二 球面坐标 r，θ，? 12

三 柱面坐标 ρ，?，z 15

四 其它正交曲线坐标系 17

1.3 数学物理方程 22

一 定解问题 22

二 数学物理方程的导出 23

1.4 分离变数法与特殊函数常微分方程 28

第二章 若干常用函数 41

2.1 高斯函数和误差函数 41

2.2 Γ 函数(第二类尤拉积分) 42

2.3 β 函数(第一类尤拉积分) 49

2.4 复变数的 Γ 函数和 β 函数 53

第三章 贝塞尔 (Bessel) 函数 57

3.1 第一类贝塞尔函数 Jn(x)，(2n≠整数) 58

3.2 第二类贝塞尔函数〔yn(x)〕 61

3.3 第三类贝塞尔函数(汉克尔函数)H(1)n(x)·H(2)n(x) 67

3.4 贝塞尔函数的性质 70

一 递推公式 70

二 本征值和零点 71

三 贝塞尔函数的正交关系 74

四 贝塞尔函数的模 77

五 富里哀—贝塞尔级数 79

3.5 Jn(x) 的母函数与加法公式 80

3.6 球贝塞尔函数 je(x)，ne(x)，he(1)(x)，he(2)(x) 82

一 定义 82

三 半奇数阶贝塞尔函数 84

二 本征值问题 84

3.7 变形(虚宗量)贝塞尔函数 (In(x)) 86

一 定义 86

二 性质 88

3.8 开耳芬 (Kelvin) 函数 92

3.9 贝塞尔函数的积分公式 94

3.10 含贝塞尔函数的定积分 97

一 第一索宁 (Sonine) 有限积分公式 97

二 韦伯-李普兹希积分公式 98

3.11 可以化为贝塞尔方程的微分方程 103

3.12 贝塞尔函数的渐近表达式和数字计算示例 107

第四章 贝塞尔函数的应用 111

4.1 两种不同电导率空间中点源场的值 111

4.2 具有 n 层电性水平层的地表面点源场的电位分布 118

4.3 半空间电性层电导率随深度变化时点源场的电位分布 130

4.4 中间层电导率 (σ2) 变化的三层水平层点电源的电位分布 135

4.5 在非均匀的各向异性地层中点电源的位 142

4.6 在钻井中点电极的电位分位 147

4.7 均匀交变电磁场中水平园柱体的解 152

4.8 地面导线环电流产生的电磁场 159

4.9 交流电通过园柱体的趋肤效应 167

4.10 垂直磁偶极子的场强矢量表达式 173

4.11 园盘形的接地电阻 180

第五章 勒让德 (Legendre) 函数 183

5.1 二阶常微分方程的级数解法 184

一 常点邻域的级数解 184

二 正则奇点邻域中的级数解法 191

5.2 勒让德多项式 196

一 勒让德多项式的微分(洛德利格斯 Rodrigues 公式)和积分(拖列夫利积分、拉普拉斯积分)表示式 196

二 勒让德多项式的某些性质 198

5.3 勒让德多项式的母函数与递推公式 199

一 母函数 199

二 递推公式 201

5.4 勒让德多项式的正交性 203

一 正交关系 203

二 勒让德多项式的模 204

三 广义富里哀级数 205

5.5 缔合勒让德函数 207

一 缔合勒让德函数的引出 207

二 缔合勒让德函数的微分，积分表达式 210

三 递推公式 212

四 缔合勒让德函数的正交性 213

5.6 球函数 218

5.7 勒让德多项式的根及零值 224

5.8 函数展为勒让德多项式表示的级数 226

5.9 斯特姆—刘维本征值问题 228

第六章 勒让德函数的应用 236

6.1 均匀电流场中的导体球 236

一 供电极在球外的情形 242

6.2 在点源电流场中的导体球 242

二 理想导体球的情况 245

三 供电极在半球形域外的视电阻率 248

四 供电极在球内的情形 253

五 供电极在半球形域内的视电阻率 259

6.3 圆环和圆盘的位 262

6.4 高斯地磁理论 265

6.5 通过两接地点电极的直流场 269

6.6 物质体的引力位 272

6.7 点电源场中的多层浸染球壳的电位分布 276

6.8 均匀“极化”球体的电场 282

6.9 波动方程的空间形式解 285

第七章 拉米函数 293

7.1 椭球坐标 293

7.2 椭球坐标系中的拉普拉斯方程表达式 296

7.3 拉米方程 300

7.4 拉米方程的积分 302

7.5 拉米函数的正交性 310

7.6 按照拉米函数展开的级数 313

7.7 第二类拉米函数 315

7.8 椭球内部与外部的位函数 319

第八章 拉米函数的应用 327

8.1 均匀椭球体在均匀磁场中的磁化强度 327

8.2 均匀电场中椭球体的位 343

8.3 椭球体电容的测定 349

第九章 运算微积及其应用 354

9.1 傅里叶变换(富氏变换) 354

一 傅里叶级数与傅里叶积分 354

二 傅里叶变换 359

三 举例 360

9.2 傅里叶变换的性质 364

一 线性 364

二 平移 364

六 积分 365

九 奇偶虚实 365

八 共轭 365

七 对称(或对偶) 365

五 微分 365

四 翻转 365

三 伸缩 365

十 卷积(或褶积) 366

十一 巴什瓦等式与能谱密变 366

9.3 δ 函数和它的傅里叶变换 368

一 脉冲函数与 δ 函数 368

二 δ 函数的基本性质 370

三 δ 函数的傅里叶变换 370

9.4 二维、三维傅里叶变换 373

9.5 微分方程的富氏变换法 376

9.6 离散傅里叶变换 386

一 无限离散序列 386

二 有限离散序列 389

三 离散傅里叶变换与褶积 393

四 二维有限离散傅里叶变换 395

9.7 傅里叶变换与线性滤波 396

一 线性平移不变滤波器 396

二 脉冲响应函数与传输函数 397

三 滤波的运算方法 398

9.8 傅里叶变换在位场转换中的应用 399

一 重力位场的变换 400

二 磁力位场的变换 404

9.9 拉普拉斯变换(拉氏变换) 408

一 从富氏变换到拉氏变换 408

二 拉氏变换的存在问题 410

三 反拉氏变换，复反演积分的级数公式 411

9.10 拉氏变换的性质 415

9.11 微分方程拉氏变换解法 418

参考文献 422