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第一章 矢量代数 1

一、内容提要 1

§1·1 矢量及其运算 1

1．矢量及其线性运算 1

2．矢量的数积，矢积，混合积 4

§1·2 矢量运算的坐标表示 7

二、例题 10

三、习题 28

1．矢量的线性运算（习题1·1～习题1·39） 28

2．矢量及其线性运算的坐标表示（习题1·40～习题1·74） 33

3．矢量的数积（内积）及其坐标表示（习题1·75～习题1·124） 37

4．矢量的矢积、混合积及其坐标表示（习题1·125～习题1·161） 42

5．二重矢积（习题1·162～习题1·171） 46

6．综合题（习题1·172～习题1·190） 48

第二章 空间坐标系 51

一、内容提要 51

§2·1 空间直角坐标系 51

1．空间直角坐标系定义 51

2．空间点的直角坐标 52

3．两点间的距离 53

§2·2 空间柱面坐标系与球面坐标系 54

1．柱面坐标系及点的柱面坐标 54

4．定比分割 54

2．球面坐标系及点的球面坐标 55

§2·3 空间仿射坐标系 57

§2·4 坐标变换 58

1．直角坐标变换 58

2．仿射坐标变换 63

二、例题 64

三、习题 79

1．直角坐标系，两点间距离，定比分割（习题2·1～习题2·22） 80

2．柱面坐标系和球面坐标系（习题2·23～习题2·31） 81

3．直角坐标变换（习题2·32～习题2·42） 83

4．仿射坐标变换（习题2·43～习题2·45） 86

第三章 平面和直线 88

一、内容提要 88

§3·1 仿射坐标系下平面和直线的有关问题 88

1．在一般仿射坐标系下平面方程的各种形式 88

2．平面方程系数的几何意义 90

3．平面间的相互位置 91

4．平面束平面把 94

5．三元一次不等式 96

6．在一般仿射坐标系下直线方程的各种形式 96

7．两条直线的相互位置 100

8．直线与平面的相互位置 100

1．平面的法方程 101

§3·2 直角坐标系下直线与平面的有关问题 101

2．角度距离 102

二、例题 109

三、习题 144

1．平面（习题3·1～习题3·23） 144

2．直线（习题3·24～习题3·49） 147

3．平面与直线（习题3·50～习题3·91） 151

4．平面与直线的综合题（习题3·92～习题3·184） 158

5．二次曲面与平面的截线（习题6·133～习题6· 172

一、内容提要 173

§4·1 曲面方程 173

第四章 曲面方程和空间曲线方程 173

2．曲面方程 173

1．曲面的定义 173

3．曲面方程的互化 175

4．曲面的分类 175

5．举例说明方程代表的图形 176

§4·2 曲线方程 177

1．曲线的定义 177

2．曲线方程 177

3．曲线的分类 178

4．举例说明曲线方程表示的图形 178

5．曲面上的坐标曲线 179

6．通过曲线的曲面 179

7．曲面和曲线的交点 180

8．曲线的投影柱面和投影曲线 180

二、例题 181

三、习题 192

1．曲面方程（习题4·1～习题4·26） 192

2．曲线方程（习题4·27～习题4·48） 196

3．拟柱面和拟锥面方程（习题4·49～习题4·55） 201

第五章 几个常见的曲面 204

一、内容提要 204

§5·1 球面 204

1．球面的定义和方程 204

2．球面的切线、切面和法线 205

3．球面束 207

§5·2 柱面、锥面、旋转面 208

1．柱面 208

2．锥面 212

3．旋转面 216

§5·3 椭球面、双曲面、抛物面 220

1．二次曲面的种类和名称 220

2．椭球面、双曲面、抛物面的形状 222

3．切平面、法线、圆截面 223

§5·4 二次直纹曲面 224

1．二次曲面〔1〕—〔17〕中的二次直纹曲面 224

§5·5 曲线产生曲面 231

3．单叶双曲面和双曲抛物面的构成 231

2．单叶双曲面和双曲抛物面的直母线的性质 231

二、例题 233

1．球面（习题5·1～习题5·100） 283

三、习题 283

2．柱面、锥面、旋转面（习题5·101～习题5·190） 300

3．椭球面、双曲面、抛物面、二次锥面（习题5·191～习题5·302） 318

4．二次直纹曲面（习题5·303～习题5·330） 336

5．曲线产生曲面（习题5·331～习题5·340） 339

第六章 二次曲面的一般理论 342

一、内容提要 342

1．二次曲面的定义及其有关符号 342

2．二次曲面与直线相交的情况 345

§6·1 仿射坐标系下二次曲面的性质 346

§6·2 仿射坐标系下二次曲面的标准方程 355

§6·3 在直角坐标系下二次曲面性质的进一步研究 367

§6·4 直角坐标系下二次曲面的度量标准方程及其用正交不变量的表示式 370

§6·5 直角坐标系下二次曲面与平面的交线 384

§6·6 n维空间中二次曲面的度量标准方程 388

二、例题 391

三、习题 449

1．二次曲面的性质（习题6·1～习题6·58） 449

2．二次曲面的（仿射和度量）标准方程、形状和位置（习题6·59～习题6·62） 455

3．利用不变量解决曲面的有关问题（习题6·63～习题6·101） 458

4．二次曲面方程的建立（习题6·102～习题6·132） 462

6．二次曲面的综合题（习题6·173～习题6·190） 472

7．n维空间中的二次曲面（习题6·191～习题6·205） 476

第七章 正交变换与仿射变换 480

一、内容提要 480

§7·1 点变换 480

1．点变换 480

2．恒等变换 480

§7·2 变换群 481

7．变换的不动点（不变点） 481

6．变换乘法的运算规律 481

5．变换的乘积 481

4．变换的相等 481

3．一一变换、逆变换 481

§7·3 正交变换 482

1．定义 482

2．性质 482

3．正交变换的代数表示 482

4．几个常见的正交变换 483

5．正交变换的矩阵，运动和反运动 484

6．正交变换群 484

7．关于正交变换的几个论断 484

1．定义 485

§7·4 仿射变换 485

2．性质 486

3．几个常见的仿射变换 486

4．关于仿射变换的几个论断 489

§7·5 二次曲面的度量分类和仿射分类 489

1．欧氏几何、仿射几何 489

2．图形的等价 490

3．二次曲面的分类 490

二、例题 498

三、习题 507

§8·3 德沙格定理和帕普斯定理 516

6．三点共线、四点共面的条件 516

§8·2 对偶原则 516

5．平面的齐次坐标 516

1．德沙格定理 516

2．帕普斯定理 516

1．点的射影坐标 516

§8·4 射影坐标与射影坐标变换 516

3．齐次坐标与齐次坐标变换 516

2．无穷远元素 516

1．线束与线把 516

§8·1 无穷远元素和齐次坐标 516

一、内容提要 516

第八章 射影几何大意 516

4．平面与无穷远线的齐次方程 516

2．点的射影坐标变换公式 517

§8·5 交比（复比） 517

1．直线上四点的交比 517

3．四面四线与四点交比的关系 518

4．四点交比与次序的关系 518

5．调和比 518

2．面束中四个平面的交比 518

2．线束中四线的交比 518

§8·6 射影变换 520

1．中心透射 520

2．射影变换 521

3．射影变换的性质 521

4．对射变换 522

5．配极变换 523

§8·7 二次曲面的射影分类 523

1．二次曲面 523

2．二次曲面的极点与极面 524

3．二次曲面的射影分类 525

4．复数域上二次曲面的射影分类 528

二、例题 528

三、习题 545

附录 习题答案 552