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第一章 集合与映射 1

1.集合运算中“消去律”不成立 4

2.集合运算中“移项”法则不成立 5

3.集合运算中“去括号”法则不成立 5

4.差对于交的分配律不成立 6

5.并对于差以及差对于并的分配律均不成立 6

6.对称差对于交的分配律不成立 7

7.并对于对称差以及对称差对于并的分配律均不成立 7

8.[∞∪(n=1)An][∞∪(n=1)Bn]≠∞∪(n=1)(AnBn) [∞∩(n=1)An][∞∩(n=1)Bn]≠∞∩(n=1)(AnBn) 7

9.∞∪(j=1) ∞∩(i=1)Eij≠∞∩(i=1) ∞∪(j=1)Eij 8

10.非单调的收敛集列 8

11.[∞∩(n=1) En]?[lim?(n→∞)En]?[lim(n→∞)En]?[∞∪(n=1)En] 10

12.[lim？(n→∞)An]∪[lim？(n→∞)Bn]?[lim？(n→∞)(An∪Bn)]?[lim?(n→∞)An]∪[?lim(n→∞)Bn]?[?lim(n→∞)(An∪Bn)] 10

13.[lim?(n→∞)(An∩Bn)]?[lim?(n→∞)An]∩[?lim(n→∞)Bn]?[?lim(n→∞)(An∩Bn)]?[?lim(n→∞)An]∩[?lim(n→∞)Bn 11

14.[?lim(n→∞)(AnBn)]?{[?lim(n→∞)An][lim？(n→∞)Bn]} 12

15.不可列集 13

17.?A=?B,?C=?D且A?C,B?D,但?AC≠?BD 14

16.?A=?B且?C=?D，但?A∪C≠?B∪D,?A∩C≠?B∩D,?AC≠?BD 14

18.f-1(f(A))≠A 15

19.f(A1∩A2)≠f(A1)∩f(A2) f(A1A2)≠f(A1)f(A2) 15

第二章 欧氏空间中的点集 17

1.无限个开集的交未必是开集 19

2.无限个闭集的并未必是闭集 19

3.对于无限指标集I，(∪ａθΙAa)＇≠∪ａθΙAa＇,?∪ａθΙAa≠∪ａθΙ?Aa 20

4.(A∩B)＇≠A＇∩B＇,?A∩B≠?A∩?B 20

5.(A∪B)0≠A0∪B0 20

7.b(A∪B)≠b(A)∪b(B)，b(A∩B)≠b(A)∩b(B) 21

6.对于无限指标集I，(∩ａθΙAa)0≠∩ａθΙA0a 21

8.对于无限指标集 I，b(∪ａθΙAa)不包含于∪ａθΙb(Aa) 22

9.F 是闭集但(F0)≠F，G 是开集但(G0)≠G 22

10.两个完全集的交未必是完全集 22

11.无限个完全集的并未必是完全集 23

12.疏朗的完全集 23

13.由无理数组成的疏朗完全集 23

14.导集具有连续统势的可列集 Ε，使 Ε∩Ε＇=？ 23

17.各阶导集互异的集 24

16.n-1阶导集非空、n 阶导集为空的集 24

15.一阶导集非空、二阶导集为空的集 24

18.导集为不可列集的孤立点集 25

19.不是孤立点集的疏朗集 25

20.余集不是疏朗集的稠密集 25

21.两个不相交的疏朗集，其中每一集的任一点都是另一集的极限点 26

22.具有中介值性质但不稠密的集 26

23.一列互不相交的稠密的可列集 26

24.一列互不相交的稠密的不可列集 27

25.[0，1]中无理数组成的不可列闭集 27

27.[0，1]表为不交稠密集 A 与 B 之并，对[0，1]中任何开区间 I，I∩A 与 I∩B 均具有连续统势 28

26.每个集稠密但交为空集的递减集列 28

28.平面上与任一直线至多相交于两点的稠密集 29

29.单位正方形 S 内的稠密子集 A，使得与 S 相交的每条铅直线或水平直线恰与 A 交于一点 30

30.平面上无界闭集的投影未必是直线上的闭集 31

31.非 Gδ 集的集 31

32.非 Fσ 集的集 33

33.既非 Gδ 集也非 Fσ 集的集 33

34.可列个 Gδ 之并未必是 Gδ 集 34

37.关于闭集套定理的条件 35

35.可列个 Fσ 集之交未必是 Fσ 集 35

36.关于有限覆盖定理的条件 35

38.关于分离定理的条件 36

39.关于点到闭集的距离 36

40.关于两闭集的距离 37

第三章 欧氏空间上的连续函数 38

1.f 不连续但|f|和 f2连续 39

5.不连续的开函数 40

4.闭集的连续象未必是闭集 40

3.开集的连续象未必是开集 40

2.f 与 g 都不连续，但 f+g 与 fg 连续 40

6.具有达布性质的不连续函数 42

7.恰在有理点间断的函数 42

8.恰在一个给定的可列集上间断的函数 43

9.仅在一点连续的函数 44

10.恰在任意给定的有限个点连续的函数 44

11.恰在整数点连续的函数 44

12.恰在 Cantor 集上连续的函数 44

14.恰在正无理点连续的函数 45

13.恰在 Cantor 集上间断的函数 45

15.恰在给定的 Fσ 集上间断的函数 46

16.连续点集与间断点集均在[0，1]上稠密且在[0，1]内任何开区间中具有连续统势的函数 48

17.乌利逊引理中闭集的条件不可少 49

18.将疏朗集映成区间的连续函数 49

19.一一对应的连续函数，但反函数不连续 50

20.连续但非一致连续的函数 51

21.f 与 g 均一致连续，但 fg 不一致连续 51

22.关于连续函数的连续延拓 51

23.分别对于各个变量连续的不连续函数 52

24.在单位正方形上处处间断而对于其中一个变量连续的函数 53

25.区间[0，1]到单位正方形[0，1]×[0，1]上的一个连续映射 53

第四章 抽象测度 55

1.不是环的半环 61

2.不是代数的环 61

3.不是σ环的环 61

4.不是σ代数的σ环 61

8.对可列并和可列交运算封闭的类来必是σ环 62

7.对交和差运算封闭的类未必是环 62

6.对并和交运算封闭的类未必是环 62

5.不是σ环的单调类 62

9.半环产生的σ环与它产生的单调类未必相等 63

10.环上有限可加但非可列可加的集函数 63

11.环上有限可加集函数在一定条件下成为测度的定理对半环不成立 63

12.不完备测度 64

13.关于测度延拓定理的条件 65

14.有限测度引出的外测度未必有限 67

15.不满足外测度定义中三条件之一的非负集函数 67

16.σ有限外测度引出的测度未必σ有限 68

17.非正则外测度 69

18.不具有下连续性的外测度 70

19.不具有上连续性的外测度 70

20.两个正则外测度之和未必是正则外测度 71

21.当 μ 仅在环 R 上有限可加时，μ*(μ引出的外测度)所引出的测度?未必是它的延拓 72

22.当环 R 上测度 μ 非 σ 有限时，μ 在 S(R)上的延拓的完备化与 μ*可测集类上的 μ*未必相等 73

23.可测覆盖存在性定理中“σ有限”的条件不可少 73

24.广义测度表为两个测度之差时表法不唯一 74

26.关于绝对连续等价定理的条件 75

25.哈恩分解不唯一 75

27.关于拉东-尼古丁定理的条件 76

28.非正则的 Borel 测度 77

第五章 Lebesgue 测度 81

1.直线上的不可测集 83

2.集 M，使任意可测集 Ε，有 m*(M∩Ε)=0，m*(M∩Ε)=m(Ε) 84

3.集 M，使任意可测集 Ε，有 m*(M∩Ε)=m*(M?∩Ε)=m(Ε) 85

4.不相交的集 A 和 B，使 m*(A∪B)＜m*(A)+m*(B) 85

5.［0，1］中不交非空集列{EN}，使 m*(?En)＜?m*(En) 85

6.［0，1］中递减集列{A?}，使 m*(?An)＜lim/n→∞ m*(An) 86

7.［0，1］中递减集列{An}，每个 m*(An)=1，但?An=? 87

8.平面上与每条直线相交于不可列个点的零测度集 88

9.平面上与每条直线恰交于 n 个点的零测度集 88

10.平面上与每条直线恰交于可列个点的零测度集 90

11.平面上与任一直线至多相交于两点的不可测集 90

12.平面上与每条直线恰交于 n 个点的不可测集 92

13.平面上与每条直线恰交于可列个点的不可测集 93

14.非 Borel 集的 Lebesgue 可测集 93

16.差集包含原点的一个邻域的零测度集 94

15.在两个坐标轴上的投影均不可测的平面上的可测集 94

17.和集为区间的零测度集 96

18.凝点集为全直线的零测度集 96

19.正测度的疏朗完全集 97

20.［0，1］中测度可充分小的开集 G，使得?=［0，1］ 98

21.［0，1］中可列个互不相交的疏朗集，其并的测度为1 99

22.无界的零测度集 100

23.不可列的零测度集 100

24.不可列的稠密的零测度集 100

25.［0，1］中测度为1的第一范畴的集 101

26.［0，1］中测度为零的第二范畴的集 102

27.非 Gδ集的零测度集 102

28.非 Fσ集的零测度集 102

29.直线上测度有限的集 E，使对任意区间 I，0＜m(I∩E)＜m(I) 102

30.［0，1］中可测集列{En}，每个 m(En)≥α＞0但不存在交集具有正测度的子列 103

31.有理数集排成的一个序列{rn}，使得全体开区间(rn-1/n,rn+1/n)不能覆盖全直线 103

32.(0，1)中的数 α，它不属于每个区间(rn-1/2n+1,rn+1/2n+1)，其中{rn}是(0，1)中全体有理数按 Cantor 法排成的序列 105

33.直线上使 E+E 不可测的可测集 E 106

34.平面上使 E+E 不可测的可测集 E 107

35.直线上使 E+E 可测的不可测集 E 108

36.平面上使 E+E 可测的不可测集 E 109

第六章 可测函数 110

1.非 Lebesgue 可测的函数 111

2.非 Borel 可测的 Lebesgue 可测函数 112

3.处处间断的非 Borel 可测的 Lebesgue 可测函数 112

4.f 不可测但|f|与 f2均可测 112

5.f 与 g 均不可测但 f+g 与 fg 可测 113

6.f 与 g 均不可测，但 f+g 可测然而非 Borel 可测 113

7.对任意实数 α，集 E(f=α)恒可测，但 f 不可测 113

8.对任意实数 α m{x∈(0，1)∶f(x)≥α}=m{x∈(0，1)∶g(x)≥α},但 f≠g 于(0，1) 114

9.把零测度集映成正测度集的连续函数 115

10.把正测度集映成零测度集的连续函数 115

11.可测集在连续映射下的象未必可测 115

12.可测集在连续映射下的原象未必可测 116

13.连续函数与可测函数的复合函数未必可测 116

14.f 在 R1上几乎处处连续，但不与任何连续函数几乎处处相等 117

15.f 在 R1上处处不连续，但与某连续函数几乎处处相等 117

16.R1上几乎处处等于0的可测函数把任意区间映成 R1 117

19.使{f(x-1/n)}不几乎处处收敛于f(x)的有界可测函数 f 119

17.R1上几乎处处等于0的可测函数，其图形在 R2中稠密 119

18.几乎处处收敛的 Borel 可测函数列的极限函数未必 Borel 可测 119

20.有界可测函数列{fn}，其任何子列在任何区间上都不几乎处处收敛 121

21.可测函数列{f?)处处收敛于 f(n)(n=1，2，…)，且{f(n)}处处收敛于 f,但{f?}不存在收敛于 f 的子列 122

22.可测函数的不可列族，其上、下确界函数未必可测 123

23.Егоров定理中，m(E)＜∞ 的条件不可少 124

24.Егоров定理的结论不能加强为 m(E?)=0 124

25.Егоров定理对连续指标函数族不成立 125

26.在［0，1］上处处收敛但在其任一子区间上非一致收敛的可测函数列 125

28.测度收敛但处处不收敛的可测函数列 126

27.处处收敛但不测度收敛的可测函数列 126

29.{fn}测度收敛于 f,但{?}不测度收敛于 f2 128

30.{fn}测度收敛于 f,但{1/fn}不测度收敛于1/f 129

31.{fn}测度收敛于 f，g 连续，但{g(fn)}不测度收敛于 g(f) 130

32.{fn}测度收敛于 f，g 连续，但{fn(g)}不测度收敛于 f(g) 131

33.不存在阶梯函数列处处收敛于它的可测函数 131

34.Лузин定理的结论不能加强为 m(EF)=0 132

35.Лузин定理的结论不能将连续函数改为多项式 132

36.不存在连续函数列处处收敛于它的可测函数 133

第七章 Lebesgue 积分 134

1.f 可积但 f2不可积 136

2.f2可积且 f 可测，但 f 不可积 136

3.fp(p＞0)可积但 f?(s＞0，s≠p)不可积 137

4.0＜s＜p＜∞，任意 f∈［s，p］f?可积；任意 u?［s，p］，f?不可积 138

5.g≤f 且 f 可积，但 g 不可积 138

6.L 可积但非 R 可积的函数 138

7.L 可积但与任意 R 可积函数都不几乎处处相等的函数 139

8.广义 R 可积但非 L 可积的函数 139

9.R1上处处有限但在任一区间上都不可积的可测函数 140

10.在任一区间上本性无界的可积函数 141

11.f 在直线上非负可积，使得对任意区间(α，b)与实数 α，m((a，b)∩(f≥α))＞0 142

12.级数？m(E(|f|≥n))收敛，但 f 在 E 上不可积 143

13.n·m(E(|f|≥n))→0，但 f 在 E 上不可积 144

14.级数?fdx 绝对收敛，但 f 在?En 上不可积 144

15.积分具有绝对连续性的不可积函数 145

16.积分中值定理中绝对值符号不可少 146

17.f 在 E 上可积且处处为正，但 inf{∫вfdx∶B?E 且 m(B)≥α}=0，其中O＜α≤m(E) 146

20.一致收敛蕴涵平均收敛时，m(E)＜∞ 的条件不可少 147

18.处处收敛的可积函数列，但极限函数不可积 147

19.测度收敛的可积函数列，但极限函数不可积 147

21.处处收敛于 f 但不积分收敛于 f 的可积函数列 148

22.处处收敛但不平均收敛的可积函数列 149

23.平均收敛但处处不收敛的可积函数列 149

24.测度收敛于 f 但不平均收敛于 f 的可积函数列 150

25.测度收敛但不积分收敛的可积函数列 150

26.在［0，1］的任何可测子集 E 上积分收敛于0，但在［0，1］上不测度收敛的可积函数列 150

27.一致有界可测函数列{gn}，p＞1，对任意使得|f|p 可积的可测函数f，有lim/n→∞∫?fgndx=∫?fgdx，但{gn}不测度收敛于 g 151

29.Levi 定理中函数列“非负”条件不可少 153

28.f 在 E 上可积，En?E 且 lim/n→∞m(En)=m(E)，但 lim/n→∞∫?fdx≠∫?fdx 153

30.Levi 定理中函数列“递增”的条件不能改为“递减” 154

31.Fatou 引理中严格不等式可能成立 155

32.Fatou 引理中函数列“非负”的条件不可少 156

33.Lebesgue 控制收敛定理中控制函数的可积性不可少 156

34.Lebesgue 有界收敛定理中 m(E)＜∞ 的条件不可少 157

35.{fn}在 E 上测度收敛于0，但lim/?dx≠0 157

36.{fn}在 E 上处处收敛且积分收敛于 f,但在 E 的可测子集 A 上不积分收敛于 f 158

37.Vitali 定理中 m(E)＜∞ 的条件不可少 159

38.积分非等度绝对连续的可积函数列 160

39.f 在(0,∞)上连续且可积，但？f(x)≠0 161

40.可积函数 f 在任意区间［0，x］上的平均值不小于 f(x)，但 f 不单调递减 162

第八章 乘积空间 163

1.(A×B)∪(C×D)≠(A∪C)×(B∪D) (A×B)(C×D)≠(AC)×(BD) 164

2.A×B?C×D，但 A?C 与 B?D 并不同时成立 165

3.环的乘积未必是环 166

4.R2中的集 E,使得对任意的 x，y∈R1，Ex 与 R1Ey 均为至多可列集 166

5.平面上的 Lebesgue 不可测集 167

6.每个截口都是可测集的不可测集 168

7.每个截口都是可测函数的不可测函数 169

8.乘积测度空间的定义中，σ 有限的条件不可少 169

9.两个完备测度空间的乘积空间未必是完备的 170

10.关于 Fubini 定理的条件 171

11.平面上不包含正测度可测矩形的正测度集 173

第九章 微分与不定积分 175

1.恰在有理点间断的严格递增函数 177

3.f 与 g 均为递增函数，但 fg 不单调 178

2.恰在一给定的可列集上间断的严格递增函数 178

4.在任一区间都不单调的连续函数 179

5.在任一子区间上都不单调的绝对连续函数 180

6.在一点的四个 Dini 导数全不相等的函数 181

7.两函数之和的 Dini 导数未必等于各函数 Dini 导数之和 181

8.处处连续但无处可微的函数 183

9.仅在一点可微的函数 184

10.仅在一点可微的连续函数 184

11.导数几乎处处为零的严格递增函数 185

12.导数几乎处处为零的严格递增连续函数 186

13.递增函数 f，使得 ∫?f＇(x)dx＜f(b)-f(?) 188

14.导函数连续且其零点集测度为正的严格递增函数 189

15.单调函数几乎处处可微的结论不能再作改进 189

16.在有理点导数不存在的连续单调函数 190

17.Fubini 逐项求导定理中函数列的单调性不可少 192

18.全变差定义中，不能用对分割的模取极限代替对分割取上确界 193

19.非单调的有界变差函数 193

20.连续的非有界变差函数 194

23.导数几乎处处为零但非有界变差的有界函数 195

22.非有界变差的有界函数 195

21.在任何子区间上都非有界变差的连续函数 195

24.f 非有界变差，但|f|与 f2有界变差 196

25.f 与 g 均有界变差且 g(x)≠0，但 f/g 非有界变差 196

26.f 与 g 均有界变差，但 g(f)非有界变差 197

27.f 有界变差，g 连续，但 g(f)与 f(g)均非有界变差 198

28.f 有界变差，g 连续，g(f)与 f(g)中有且仅有一个有界变差 198

29.f 有界变差，g 满足α＜1阶 Lip 条件，但 g(f)非有界变差 200

31.满足任意给定的 α＜1阶 Lip 条件的连续非有界变差函数 201

30.不满足任何阶 Lip 条件的连续的有界变差函数 201

32.不满足任何阶 Lip 条件的连续非有界变差函数 204

33.满足任意给定 α＜1阶但不满足任何 β＞α 阶 Lip 条件的有界变差函数 205

34.f 与 g 均有界变差且非负，使?(f+g)＜?(f)+?(g) 205

35.一致收敛的有界变差函数列的极限函数未必是有界变差函数 206

36.一致收敛的有界变差函数项级数的和函数未必是有界交差函数 207

37.依变差收敛和几乎处处收敛互不蕴涵 207

38.依变差收敛与导函数列的收敛性 208

42.在［0，1］上连续但非绝对连续，而在任意的［ε，1］上绝对连续的函数 210

41.一致连续但非绝对连续的函数 210

39.有界变差函数 f,使得函数?(f)在某点 x0的导数存在，但 f＇(x0)不存在 210

40.连续但非绝对连续的函数 210

43.在［0，1］上连续但在其任一子区间上非绝对连续的函数 211

44.f(≥0)非绝对连续，但 fp(任意p＞1)绝对连续 211

45.f(≥0)绝对连续，但对某些 p,fp 非绝对连续 212

46.连续且有界变差的非绝对连续函数 214

47.f 非绝对连续，但|f|与 f2绝对连续 214

48.关于复合函数的绝对连续性 214

49.不满足任何阶 Lip 条件的绝对连续函数 217

52.满足任意给定的 α＜1阶但不满足任何 β＞α 阶 Lip 条件的绝对连续函数 218

53.一致收敛的绝对连续函数列的极限函数未必绝对连续 218

50.满足任意给定的 α＜1阶 Lip 条件的非绝对连续函数 218

51.不满足任何阶 Lip 条件的非绝对连续函数 218

54.一致收敛的绝对连续函数项级数的和函数未必绝对连续 219

55.绝对连续函数几乎处处可微的结论不能再作改进 220

56.［?，b］上处处可微但导函数不可积的函数 220

57.处处可微但非绝对连续的函数 221

58.f 与 f＇均为 R1上可积函数，但仍有 lim?f(x)≠0 222

59.f 的不定积分在点 x 具有导数 f(x)，但 x 未必是 f 的 Lebesgue 点 223

参考书目 225