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预篇 集合论提要 1

一、记号 1

前言 1

二、集合·区间 2

1.集合 2

2.区间 6

三、集合的运算 7

1.子集·集合的相等 7

2.并集与交集 8

3.差集与余集 9

四、二元关系及函数 10

1.二元关系 10

2.函数 12

1.标号族 16

五、标号族 16

2.笛卡尔积 17

3.集合的运算(续) 19

六、等价关系与编序关系 23

1.等价关系 23

2.偏序关系·卓伦(Zorn)引理 25

七、有限集与可数集·基数 28

1.集合的对等 28

2.有限集与无穷集 29

3.可数集与不可数集 30

4.基数或势 32

习题 35

一、度量空间 38

1.n维欧几里得空间 38

第一章 拓扑空间 38

2.度量空间 40

二、度量空间的开集·度量子空间 44

1.开球·收敛点列 44

2.度量子空间 48

三、拓扑空间·拓扑的基与亚基 49

1.开集公理 50

2.拓扑的基与亚基 53

四、一些重要的拓扑概念 57

1.闭集与闭包 57

2.聚点与导集 60

3.领域·序列的收敛性 62

4.点集的内部、外部与边界 65

5.其他的一些拓扑概念 66

五、连续函数 68

1.度量空间到度量空间内的连续函数 69

2.拓扑空间到拓扑空间内的连续函数 70

3.函数的极限与连续性 72

4.同胚与等距映射 76

六、子空间·积空间·商空间 79

1.集合上使一族函数都连续的最大与最小拓扑 79

2.拓扑空间的子空间 82

3.积空间 83

4.函数的分支函数与函数的连续性 89

5.商空间 94

七、等价度量·度量积 97

1.等价度量 97

2.度量积 99

1.实直线R的开集的结构 104

八、实直线 104

2.康托尔集 107

习题 111

第二章 连通性 117

一、连通空间 117

二、空间的分支·连通空间的积空间 122

三、度量空间的完全性、凸性与连通性 126

1.ε-链 126

2.完全度量空间 127

3.凸空间 133

四、欧氏空间的连通集·连通空间上的连续实值函数 136

习题 142

一、T0与T1空间 146

1.T0空间 146

第三章 分离公理与可数性公理 146

2.T1空间 147

二、T2空间 150

1.豪斯道夫(Hausdorff)空间 150

2.豪斯道夫空间的性质 151

三、第一可数性公理 155

四、第二可数性公理·可分空间 161

五、度量空间的完全有界性与可分性 166

1.度量空间的有界集与完全有界集 166

2.可分度量空间 173

习题 176

第四章 紧致性 178

一、紧致空间与列紧空间 178

1.紧致集 178

2.列紧集 182

3.豪斯道夫空间的紧致集与连续函数 185

二、紧致空间族的积空间 188

三、覆盖式与序列式列紧性·各种紧致性之间的关系 191

1.覆盖式列紧空间 192

2.序列式列紧空间 194

四、局部紧致性 197

五、紧致度量空间·函数的一致连续性 201

1.紧致度量空间与度量空间的紧致集 201

2.紧致度量空间的连通性 201

3.勒贝格引理·函数的一致连续性 205

六、欧氏空间的紧致集与紧致空间上的连续实值函数 209

习题 217

1.定义及举例 221

一、正则空间 221

第五章 正则性与正规性·度量化定理 221

2.正则空间的性质 224

二、正规空间·覆盖的可收缩性 226

1.定义及举例 226

2.正规空间的性质 229

3.覆盖的可收缩性 230

三、正规空间上的连续实值函数 233

四、完全正规空间 244

五、度量化定理 248

1.希尔伯特(Hilbert)方体 248

2.度量化定理 253

习题 255

附录 关于势的可比较性的证明 256

索引 258