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第一部分 代数理论 3

第一章 代数数域和代数整数环 3

1 代数数域 3

1.1 单扩张定理 3

1.2 数域的嵌入 4

1.3 范与迹 8

1.4 元素的判别式 10

1.5 单位根 12

2 代数整数环 17

2.1 代数整数 17

2.2 代数整数环 18

2.3 整基，数域的判别式 21

第二章 整数环中的素理想分解 30

1 分解的存在唯一性 30

1.1 Dedekind整环 30

1.2 整数环OK是Dedekind整环 36

1.3 分式理想，理想的范 38

2 分歧指数，剩余类域次数和分裂次数 45

2.1 e,f,g 45

2.2 素理想分解和多项式分解 49

2.3 应用：素数在二次域中的分解，二平方和定理 52

2.4 判别式定理 55

2.5 应用：纯三次域的整基 59

3 伽罗华扩域中的素理想分解 63

3.1 n=efg 63

3.2 分解群和惯性群 65

3.3 Frobenius自同构 69

3.4 素数在分圆域中的分解 72

4 Kronecker-Weber定理 75

4.1 二次域是分圆域的子域 75

4.2 分歧群和分歧域 79

4.3 Kronecker-Weber定理 82

4.4 Abel数域的导子和互反律 88

1 类群和类数 93

第三章 理想类群和单位群 93

1.1 Rn中的格，Minkowski定理 94

1.2 类数有限性定理 98

2 Dirichlet单位定理 106

2.1 Dirichlet单位定理 106

2.2 实二次域的基本单位，Pell方程 111

2.3 其他例子 115

2.4 关于费尔马猜想的Kummer定理 122

1 Dirichlet级数的一般理论 128

1.1 Dirichlet级数环--形式化理论 128

第二部分 解析理论 128

第四章 ζ(s),L(s,x)和ζk(s) 128

1.2 收敛横坐标--解析工具的引入 134

2 Rimann zeta函数ζ(s)和Dirichlet L函数L(s,x) 142

2.1 ζ(s)的函数方程，Riemann猜想 142

2.2 有限Abel群的特征 146

2.3 Dirichlet L函数 152

2.4 Dirichlet级数在负整数处的值，Bernoulli数 158

3.1 留数公式 166

3 Dedekind zeta函数ζk(s) 166

3.2 ζk(s)的函数方程 173

第五章 密度问题 179

1 素数定理和素理想定理 180

1.1 素数定理 180

1.2 算术级数中的素数定理 186

1.3 素理想定理 187

2.1 Dirichlet密度 189

2 密度定理及其应用 189

2.2 素理想的分裂和多项式的分裂 192

2.3 Abel L-函数，ЧiooTapeB密度定理 195

第六章 Abel数域的类数公式 204

1 Hasse类数公式 204

2 二次域的类数公式 212

3 分圆域的类数公式，Kummer结果 217

附录A 进一步阅读的参考书 233

附录B 关于群、环、域的一些知识 236