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第1讲 数域上的多项式，（并涉及由其定义的）多项式函数 1

1.1 关于不可约多项式的一个基本事实与若干特殊的不可约多项式 1

1.1.1 基本事实 1

1.1.2 一类特殊的不可约多项式 2

1.1.3 另一类特殊的不可约多项式 3

1.1.4 矩阵的最小多项式 3

1.2 非负多项式的一个特征 9

1.3 关于多项式的Fermat大定理的一个初等证明 11

1.3.1 关于整数的Fermat大定理 11

1.3.2 关于多项式的Fermat大定理 12

1.4 关于一元多项式的若干注记 15

1.4.1 带余除法 16

1.4.2 余数定理的几种证明方法 16

1.4.3 零点-因子定理及其应用 17

1.4.4 多项式的最大（小）公因（倍）式 20

1.5 对称与初等对称多元多项式 21

1.5.1 多元多项式 21

1.5.2 对称和初等对称多项式 24

习题1 28

第2讲 线性相关性（线性代数的核心概念） 29

2.1 涉及线性相关性的几组基本事实 29

2.2 替换定理及其等价刻画 33

2.3 涉及线性变换（线性映射）的线性相关性 38

2.4 涉及内积的（即Euclid空间里的）线性相关性 47

2.5 关于矩阵秩概念的开发（Ⅰ） 51

2.6 从向量组的线性相关性到子空间组的线性相关性（详见第4讲） 55

习题2 55

第3讲 关于线性空间和线性变换的其他基本事项（联系更一般的模和模同态概念） 57

3.1 模（线性空间）公理间的独立性及其他 57

3.1.1 模公理间的独立性 57

3.1.2 模的Abel群 64

3.1.3 线性空间上的线性变换 65

3.2 线性空间关于线性变换的不变子空间 67

3.3 n维线性空间中n-无关无限子集的若干特征及其存在性 71

3.4 n变数可逆线性齐次代换的两种几何解释及其联系 75

3.4.1 解释为域F上n维线性空间上的线性变换 75

3.4.2 A可逆时，式（3.5）又可解释为域F上n维线性空间上的坐标变换 76

3.4.3 A可逆时，式（3.5）的上两种解释的联系 76

3.5 线性映射（函数）与其表示矩阵（向量）（“矩阵秩概念的开发（Ⅱ）”，用线性函数给出3.3节的一个补充） 77

3.5.1 线性映射与其表示矩阵 77

3.5.2 矩阵秩概念的开发（Ⅱ） 82

3.5.3 用线性函数给出3.3 节的一个补充 82

3.6 对偶空间与“矩阵秩概念的开发（Ⅲ）” 84

3.6.1 对偶空间与对偶基底 84

3.6.2 对偶线性映射与矩阵秩概念的开发（Ⅲ） 86

3.6.3 空间与其对偶空间的对偶性 89

3.6.4 线性空间与其对偶空间的联系 93

3.7 对称双线性度量空间与线性方程组可解的几何解释 97

3.8 Euclid空间与线性方程组的最小二乘法 104

3.8.1 Euclid空间的基本概念和基本事实 105

3.8.2 向量到子空间的距离与线性方程组的最小二乘法 111

3.9 具有对角形表示矩阵的线性变换 116

3.10 多重线性函数和行列式的（一种）公理化定义 125

3.10.1 d-行列式的定义及性质 125

3.10.2 d-行列式恰为通常的行列式 127

3.10.3 d-行列式（作为行列式的公理化定义）的直接应用 128

3.11 多重线性函数和Binet-Cauchy公式 130

3.12 若干例题 134

习题3 146

第4讲 线性空间的直和分解（模的特殊情形） 148

4.1 线性空间的（内）直和与外直和 148

4.1.1 线性空间的（内）直和与外直和 148

4.1.2 用直和给出3.3 节的另外两个补充 157

4.2 线性空间涉及线性变换的若干直和结构 158

4.2.1 线性空间涉及线性变换的一类直和分解 158

4.2.2 线性空间涉及线性变换的其他直和结构 161

习题4 164

第5讲 初等变换，初等矩阵与矩阵的等价标准形的应用开发 166

5.1 基本概念和基本事实的罗列 166

5.2 应用1，初等变换的若干应用 168

5.2.1 初等变换在求多项式的最大公因式和最小公倍式中的应用 168

5.2.2 初等变换在线性方程组的通解公式建立中的应用 173

5.2.3 初等变换在求标准正交基底中的应用 177

5.3 应用2，等价标准形的若干应用 183

5.4 应用3，初等矩阵在行列式的（另一种）公理化定义中的应用 187

5.5 应用4，初等矩阵在由行列式归纳法定义导出行列式性质中的应用 190

5.6 矩阵的广义逆与线性方程组的可解性和通解表达 196

习题5 199

第6讲 矩阵分块运算的应用开发 200

6.1 矩阵的分块运算（含分块矩阵乘法法则的一种处理） 200

6.1.1 分块矩阵的概念 200

6.1.2 矩阵的分块运算 202

6.2 应用1，矩阵乘法的结合律和Cramer法则的证明 204

6.2.1 矩阵乘法的结合律的证明 204

6.2.2 Cramer法则的证明 205

6.3 应用2，Cayley-Hamilton定理的一个简化证明 207

6.4 应用3，关于矩阵秩概念的开发（Ⅳ） 210

6.5 应用4，其他例题 211

习题6 214

第7讲 自然数集与数学归纳法 216

7.1 自然数集的Peano公理 216

7.2 关于“自然数集”的一个可供使用的“朴素理论” 224

7.3 数学归纳法用于“证明” 225

7.4 数学归纳法用于“构作” 234

7.5 数学归纳法用于“定义”和“思考” 237

7.6 集合上的偏序关系与Zorn引理 238

习题7 242

第8讲 非Klein意义上的“高观点下的初等数学” 244

8.1 对数的换底公式与分数的约分公式 244

8.2 根在复平面“单位圆（虚轴）”上的实不可约多项式在一般域上的推广 246

8.3 Fibonacci数列的通项公式 247

8.4 m·n=（m,n）[m,n] 254

8.5 Newton二项公式 254

8.6 关于组合数的矩阵方法 255

8.7 初等几何的若干等式和不等式 258

8.8 若干高等数学事实的证明到初等数学已知事实的归结 258

习题8 259

参考文献 260

索引 262