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第一章 复数 1

第一节 复数的概念 1

1.1 复数的定义 1

1.2 复数的几何表示 2

第二节 复数的代数运算 5

2.1 复数的加、减法 5

2.2 复数的乘、除法 7

2.3 积、商的模与辐角 11

2.4 复数的开方 17

第三节 复球面 21

小结 22

复习思考题 23

综合题 24

第二章 复变函数 26

第一节 复变量 26

1.1 曲线 26

1.2 区域 31

第二节 复变函数的概念 36

2.1 复变函数的定义 36

2.2 复变函数的几何意义 37

第三节 复变函数的极限和连续性 45

3.1 复变函数的极限 45

3.2 复变函数的连续性 48

小结 50

复习思考题 54

综合题 55

第三章 解析函数 57

第一节 解析函数的概念 57

1.1 复变函数的导数 57

1.2 解析函数的定义 61

第二节 函数解析的充分必要条件 62

第三节 解析函数与调和函数 67

3.1 调和函数的概念 67

3.2 共轭调和函数 69

3.3 解析函数与调和函数的关系 69

第四节 初等解析函数 73

4.1 指数函数 74

4.2 对数函数 80

4.3 三角函数 84

4.4 反三角函数 87

4.5 幂函数 88

4.6 双曲函数与反双曲函数 91

小结 92

复习思考题 100

综合题 100

第四章 积分 103

第一节 复变函数积分的概念 103

1.1 有向曲线 103

1.2 复变函数积分的定义 104

1.3 积分存在的充分条件 105

1.4 复变函数积分的性质 108

1.5 积分的计算 110

第二节 柯西积分定理 117

2.1 柯西基本定理 117

2.2 原函数 118

2.3 柯西基本定理在复合闭路上的推广 121

第三节 柯西积分公式及高阶导数公式 125

3.1 柯西积分公式 125

3.2 高阶导数公式 129

小结 135

复习思考题 140

综合题 141

第一阶段测验题(一、二、三、四章) 143

第五章 台劳级数与罗朗级数 145

第一节 复数项级数 145

1.1 复数项级数的概念 145

1.2 复变函数项级数 150

1.3 幂级数 151

第二节 解析函数的台劳级数 157

2.1 解析函数的台劳展开式 157

2.2 解析函数的零点 165

第三节 解析函数的罗朗级数 167

3.1 含正、负整次幂的级数 167

3.2 解析函数的罗朗展开式 170

第四节 孤立奇点 178

4.1 孤立奇点及其分类 178

4.2 孤立奇点类型的判别 179

4.3 极点与零点的关系 183

小结 185

复习思考题 191

综合题 192

第六章 留数 195

第一节 留数概念及基本定理 195

1.1 留数的概念 195

1.2 留数基本定理 199

1.3 函数在极点上的留数 201

第二节 应用留数计算实积分 207

2.1 有理式 R(cosθ，sinθ)在区间［0，2π］上的定积分 207

2.2 既约有理真分式 P(χ)/Q(χ)在(-∞，+∞)上的积分 209

2.3 P(χ)/Q(χ)etmχ在(-∞,+∞)上的积分 212

小结 213

复习思考题 221

综合题 221

第七章 保角映射 223

第一节 保角映射的概念 223

1.1 导数的几何意义 223

1.2 保角映射的定义 228

1.3 保角映射的两个基本问题 231

第二节 分式线性映射 235

2.1 线性映射 236

2.2 倒数映射 238

2.3 分式线性映射的特性 241

2.4 唯一确定分式线性映射的条件 242

2.5 分式线性映射的应用 246

第三节 指数函数及幂函数所确定的映射 253

3.1 指数函数确定的映射 253

3.2 幂函数确定的映射 256

小结 260

复习思考题 264

综合题 265

第二阶段测验题(五、六、七章) 267

答案 269