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第一部分 基本原理 3

第一章 常微分方程 3

(E)1.1 常微分方程 3

(E)1.2 初值问题和边值问题 6

(TE)1.3 齐次线性方程理论 8

(E)1.4 齐次线性方程的解 12

(E)1.5 非齐次线性方程 16

(E)1.6 一阶非线性微分方程 23

(I)1.7 高阶非线性微分方程 28

(E)1.8 本征值问题 32

(TE)1.9 复平面上的微分方程 34

习题 35

第二章 差分方程 41

(E)2.1 差分演算 41

(E)2.2 初等差分方程 43

(I)2.3 齐次线性差分方程 46

(I)2.4 非齐次线性差分方程 57

(E)2.5 非线性差分方程 62

习题 63

第二部分 局部分析 71

第三章 线性微分方程的近似解 71

(E)3.1 齐次线性方程奇点的分类 71

(E)3.2 齐次线性方程正常点处的局部行为 76

(I)3.3 齐次线性方程正则奇点处的局部级数展开 80

(E)3.4 齐次线性方程非正则奇点处的局部行为 89

(E)3.5 无穷远处的非正则奇点 102

(E)3.6 非齐次线性方程的局部分析 118

(TI)3.7 渐近关系 122

(TD)3.8 渐近级数 135

习题 159

第四章 非线性方程的近似解 171

(E)4.1 自发奇点 171

(E)4.2 一阶非线性微分方程的近似解 173

(I)4.3 高阶非线性微分方程的近似解 178

(I)4.4 非线性自治系统 197

(I)4.5 高阶非线性自治系统 213

习题 225

第五章 差分方程的近似解 234

(E)5.1 引言 234

(I)5.2 线性差分方程的正常点和正则奇点 235

(E)5.3 在无穷远非正则奇点处的局部行为：确定支配因子 243

(E)5.4 n→∞时n1的渐近行为：Stirling公式 248

(I)5.5 无穷远非正则奇点处的局部行为：完全的渐近级数 259

(E)5.6 非线性差分方程的局部行为 265

习题 272

第六章 积分的渐近展开 283

(E)6.1 引言 283

(E)6.2 初等的例子 285

(E)6.3 分部积分法 289

(E)6.4 Laplace方法和Watson引理 299

(I)6.5 驻相法 319

(I)6.6 最陡下降法 324

(I)6.7 求和的渐近估计 348

习题 354

第三部分 摄动方法 370

第七章 摄动级数 370

(E)7.1 摄动理论 370

(E)7.2 正则摄动和奇异摄动理论 374

(I)7.3 线性本征值问题的摄动方法 383

(D)7.4 渐近匹配 387

(TD)7.5 摄动本征值问题的数学结构 403

习题 416

第八章 级数求和 423

(E)8.1 收敛性的改进 423

(E)8.2 发散级数的求和 436

(I)8.3 Padé求和 440

(I)8.4 连分式和Padé近似 455

(TD)8.5 Padé近似的收敛性 460

(TD)8.6 Stieleies函数的Padé序列 466

习题 473

第九章 边界层理论 483

(E)9.1 引言 483

第四部分 全局分析 483

(E)9.2 边界层的数学结构：内极限、外极限和中间极限 490

(E)9.3 高阶边界层理论 495

(I)9.4 特异极限和厚度≠8的边界层 501

(I)9.5 线性边界层问题杂例 512

(D)9.6 内边界层 520

(I)9.7 非线性边界层问题 529

习题 546

第十章 WKB理论 552

(E)10.1 耗散和色散现象的指数近似 552

(E)10.2 WKB近似的适用条件 562

(E)10.3 拼接渐近近似：线性非齐次方程WKB解 567

(I)10.4 匹配渐近近似：单转向点问题解 574

(I)10.5 双转向点问题：本征值条件 591

(D)10.6 隧道效应 598

(D)10.7 高阶WKB近似的简短讨论 609

习题 614

第十一章 多重尺度分析 622

(E)11.1 共振和长期行为 622

(E)11.2 多重尺度分析 629

(I)11.3 多重尺度分析实例 633

(I)11.4 Mathieu方程及稳定性 640

习题 648

常用公式 651

参考文献 660