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第一章 常数项级数 1

1.1 常数项级数及其敛散性 1

1.1.1 常数项级数的概念 1

1.1.2 级数的收敛与发散 4

1.2 级数的基本性质 15

1.2.1 级数的基本性质 16

1.2.2 余项 25

1.3 正项级数 26

1.3.1 正项级数的概念 26

1.3.2 正项级数的判敛法 26

1.4 变号级数 39

1.4.1 交错级数 39

1.4.2 一般的变号级数及绝对收敛、条件收敛 41

1.5 常数项级数小结及补充 46

1.5.1 各种判敛法的归纳 46

1.5.2 有限项相加、乘性质对级数的适用性 48

1.6 广义积分 52

1.6.1 无穷限广义积分 52

1.6.2 无界函数的广义积分(瑕积分) 60

1.7 杂例讨论 67

习题 70

第二章 函数项级数 72

2.1 函数项级数的一般理论 72

2.1.1 函数项级数的一般概念 72

2.1.2 一致收敛 75

2.1.3 和函数的分析性质 83

2.2 幂级数 88

2.2.1 幂级数及其收敛域 88

2.2.2 幂级数的内闭一致收敛性 96

2.2.3 幂级数的分析性质 97

2.2.4 幂级数的四则运算 105

2.2.5 函数展开为幂级数 107

2.2.6 一些初等函数的展开式 110

2.2.7 函数的幂级数展开的应用 118

2.3 傅里叶级数 123

2.3.1 三角级数及三角函数系的正交性 123

2.3.2 欧拉-傅里叶公式 124

2.3.3 收敛定理 126

2.3.4 奇(偶)函数的傅里叶级数 132

2.3.5 区间[-τ,τ]上的傅里叶级数 137

2.4 杂例讨论 139

习题 144

第三章 多元函数微分学 146

3.1 多元函数分析引论 146

3.1.1 预备知识——平面点集 146

3.1.2 多元函数 151

3.1.3 多元函数的极限 157

3.1.4 多元函数的连续性 165

3.2 偏导数与全微分 171

3.2.1 偏导数 171

3.2.2 全微分 177

3.3 复合函数微分法 188

3.3.1 连锁规则 188

3.3.2 第一种情形的多元复合函数的偏导计算 191

3.3.3 第二种情形的多元复合函数的偏导计算 194

3.3.4 第三种情形的多元复合函数的偏导计算 197

3.3.5 多元复合函数求偏导小结 202

3.3.6 全微分形式不变性 204

3.4 隐函数微分法 207

3.4.1 一个方程所确定的隐函数的微分法 207

3.4.2 由方程组确定的隐函数的微分法 210

3.5 杂例讨论 215

习题 217

第四章 重积分 220

4.1 二重积分的概念和性质 220

4.1.1 二重积分的定义 220

4.1.2 二重积分的性质 229

4.2 二重积分的计算 231

4.2.1 在直角坐标系中计算二重积分 231

4.2.2 在极坐标系中计算二重积分 251

4.3 三重积分的概念和计算 267

4.3.1 三重积分的概念 267

4.3.2 在直角坐标系中计算三重积分 271

4.3.3 在柱面坐标系和球面坐标系中计算三重积分 278

4.4 重积分的应用 290

4.4.1 空间曲面的面积 291

4.4.2 重心 296

4.4.3 物体的转动惯量 300

4.5 杂例讨论 302

习题 307

第五章 曲线积分与曲面积分 309

5.1 曲线积分 309

5.1.1 第一型曲线积分(对弧长的曲线积分) 310

5.1.2 第二型曲线积分(对坐标的曲线积分) 320

5.1.3 第一型和第二型曲线积分的关系 333

5.1.4 格林公式 335

5.1.5 曲线积分与路径无关的条件 343

5.2 曲面积分 356

5.2.1 第一型曲面积分(对面积的曲面积分) 357

5.2.2 第二型曲面积分(对坐标的曲面积分) 363

5.2.3 第一型和第二型曲面积分的关系 377

5.2.4 高斯公式和斯托克斯公式 378

5.3 杂例讨论 391

习题 397

附录 习题答案 400