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引言 1

0 Lebesgue积分简述 1

0.1 集合 1

0.2 点集的测度 5

0.3 可测函数 11

0.4 Lebesgue积分 16

Ⅰ 线性空间 25

1.1 线性空间 25

1.2 内积与范数 27

1.3 距离空间 35

1.4 空间的完备性 41

1.5 紧致性 47

1.6 L2空间 54

1.7 不动点定理及其应用 69

Ⅱ Hilbert空间 81

2.1 若干基本概念 81

2.2 Hilbert空间 82

2.3 可分空间 84

2.4 可分H空间上的Fourier分析 92

2.5 投影定理 96

2.6 H空间中的线性算子 98

2.7 线性算子的一般性质 102

2.8 算子的范数 103

2.9 赋范线性算子空间的一般性质 113

2.10 逆算子及逆算子存在定理 120

2.11 线性泛函的Riesz表现定理 125

Ⅲ 积分方程 129

3.1 一般概念 129

3.2 退化核方程 131

3.3 Fredholm解法 135

3.4 迭代法 154

3.5 实对称核方程 157

3.6 Hilbert-Schmidt理论 172

3.7 几点注记 176

4.1 引言 179

Ⅳ 谱论 179

4.2 Riemann-Stieltjes积分 184

4.3 特征值和子空间 187

4.4 厄米算子的谱值 190

4.5 不变子空间 192

4.6 具有纯点谱的厄米算子 194

4.7 有界厄米算子的谱表现定理 197

4.8 投影算子的若干基本性质 201

4.9 基本引理的证明 204

4.10 量子力学中的简单应用 209

参考书目 222