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第一章 数值运算误差分析 1

§1．1 误差分类 1

§1．2 误差的表达方式 3

1．2．1 绝对误差 3

1．2．2 相对误差 3

1．2．3 有效数字 4

1．2．4 绝对误差、相对误差和有效数字之间的关系 4

§1．3 截断误差估值 5

§1．4 始值误差的估值 6

1．4．1 应用增量公式来求始值误差 6

1．4．2 应用相对误差的和、积、商公式来求始值误差 7

1．4．3 区间分析法 7

§1．5 舍入误差分析 8

§1．6 算法稳定性概念 10

习题一 12

第二章 代数插值 13

§2．1 拉格朗日（Lagrange）插值公式 14

§2．2 差分差商及其性质 19

2．2．1 微商的离散化 19

2．2．2 差分算子的形式运算 20

2．2．3 差分的主要性质 21

2．2．4 差商及其性质 24

§2．3 代数插值的牛顿公式 28

2．3．1 非等距节点的牛顿公式 28

2．3．2 等距节点的牛顿表初、表末和表中公式 30

§2．4 逐次线性插值（Aitken） 36

§2．5 关于高次插值的讨论 39

§2．6 多项式的Hermite插值 41

§2．7 多项式的HB插值 44

习题二 50

§3．1 半截函数及其性质 53

第三章 样条函数 53

§3．2 样条函数的形成和定义 55

§3．3 三次样条插值 57

3．3．1 插值问题的提法 57

3．3．2 插值问题的存在唯一性 58

3．3．3 三次样条函数插值的极值性质 58

3．3．4 三弯矩插值法 60

3．3．5 插值余项 62

§3．4 分片三次埃尔米特插值 64

3．4．1 问题的提法及其解答 64

3．4．2 插值余项 65

§3．5 B样条函数与磨光法 67

3．5．1 磨光定义 67

3．5．2 B样条 68

3．5．3 阶梯函数的磨光 71

3．5．4 型值的盈亏修改 74

3．5．5 多值函数的磨光 75

习题三 77

第四章 数值积分 80

§4．1 等距节点的求积公式：牛顿-柯特斯公式 80

4．1．1 公式的推导 80

4．1．2 误差分析 84

4．1．3 复化公式及其误差公式 88

4．1．4 运用欧拉-麦克劳林（Euler-Maclonrin）求和公式研究复化求积公式的误差 91

§4．2 外推算法及其在数值积分中的应用 94

4．2．1 李查逊（Richardson）外推算法 94

4．2．2 龙贝格（Romberg）方法求数值积分 96

§4．3 自适应数值积分算法 98

§4．4 样条函数方法求数值积分简介 100

§4．5 振荡函数的积分 101

4．5．1 分部积分法 102

4．5．2 振药函数数值积分一般原则 104

习题四 106

§5．1 用差商代替导数 108

第五章 数值求导 108

§5．2 用插值函数求微商 110

§5．3 利用数值积分公式来求数值微分 114

§5．4 用外推算法求数值微商 117

§5．5 用算子来表示求导公式 118

习题五 120

第六章 正交多项式和数值积分的进一步讨论 122

§6．1 正交多项式的一般性质 122

§6．2 常用的几个正交多项式 127

§6．3 高斯型求积公式 131

§6．4 奇异积分的数值方法 142

习题六 145

第七章 切比雪夫最佳逼近 148

§7．1 引言 148

§7．2 线性模空间的逼近问题 149

习题七 150

§7．3 切比雪夫最佳逼近的定义和性质 150

§7．4 切比雪夫多项式的导出 153

§7．5 切比雪夫最佳逼近的实现 155

7．5．1 用直线来最佳逼近f（x） 155

7．5．2 k次多项式用n次多项式来最佳逼近 156

7．5．3 用求解超越方程的方法来求最佳多项式 158

第八章 最佳平方逼近 160

§8．1 内积空间性质与最佳平方逼近概念 160

§8．2 最佳平方逼近的性质 161

§8．3 最佳逼近式的推求 162

§8．4 几个常用内积空间中的最佳平方逼近 163

8．4．1 Rn空间中的最佳平方逼近 163

8．4．2 C[a,b]空间中的最佳平方逼近 164

8．4．3 离散函数的最佳平方逼近 166

习题八 169

§9．1 周期离散函数的富氏展开 171

第九章 有限富氏分析和快速富氏变换 171

§9．2 离散富氏分析的误差 173

§9．3 离散富氏变换 175

9．3．1 富氏变换的离散化 175

9．3．2 离散富氏变换的形式 176

§9．4 离散富氏变换的快速算法 176

9．4．1 快速富氏变换的一般原理 176

9．4．2 以二为底的快速富氏变换 177

习题九 180

第十章 有理函数插值 182

§10．1 连分式 182

10．1．1 引言 182

10．1．2 连分式简介 183

§10．2 有理分式插值 185

10．2．1 通过解线代数方程获得有理分式插值公式 185

10．2．2 通过连分式获得有理分式插值公式（Thiele方法） 188

§10．3 巴脱（Pade）插值 192

§10．4 将有理分式函数化成连分式 196

习题十 198

第十一章 二元函数分片光滑逼近 201

§11．1 引言 201

§11．2 矩形域上分片插值问题 202

11．2．1 分片双一次插值 202

11．2．2 分片不完全双二次插值 204

11．2．3 矩形域上分片双三次埃尔米特插值 207

11．3．1 三角形区域上的线性插值 209

§11．3 三角形区域的插值 209

11．3．2 三角形区域上的二次插值 211

§11．4 康斯（Coons）插值 213

11．4．1 插值算子和布尔和 213

11．4．2 双一次康斯插值 214

11．4．3 双三次康斯插值 215

§11．5 矩形域上曲面磨光法 217

习题十一 219