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目录 1

绪论 1

§1 数值计算方法研究的对象和特点 1

§2 数值计算中的误差、收敛性与数值稳定 6

性 6

附录　误差概念 9

一、近似数误差概念 9

二、数值计算中控制误差的若干原则 12

习题 14

第一篇　数值代数 16

第一章　解n阶线性方程组的分解法 16

§1.1 直接LU分解法 16

一、基本思想 16

二、矩阵A的LU分解 18

三、直接LU分解解方程组的算法 20

四、动态算法 22

五、LU分解的存在唯一性 25

六、数值稳定性 26

七、特点与应用条件 27

习题 1.1 27

§1.2　列主元LU分解法 27

一、基本思想 27

二、算法 28

习题 1.2 34

§1.3 解对称方程组的LDLT分解法 34

一、对称阵的LDLT分解定理 34

二、方程解法 35

三、节约存贮单元的处理 39

四、实用算法 40

五、算法的演化及评注 41

习题　1.3 42

§1.4 追赶法 42

二、算法的导出 43

一、设计思路 43

三、实用算法 44

四、解的存在唯一性与算法的数值稳定性 45

五、特点 45

六、等距点三次样条插值中的三对角方程组解法 46

习题 1.4 47

§1.5　分解法的误差分析 47

一、分解法误差来源 47

二、方程组对初始误差的敏感性 48

三、矩阵的条件数 49

四、方程病态的估计与改善 51

附录　向量和矩阵的范数 55

习题 1.5 59

＊§1.6　OR分解法 60

一、非奇异阵的正交分解定理 60

二、Householder镜象映射变换 60

三、n阶非奇异矩阵的QR分解 64

四、用QR分解法解线性方程组 67

第二章 解n阶线性方程组的超松弛迭代法 72

§2.1 设计思想及算法 72

一、雅可比迭代法的基本思想及迭代格式 72

二、赛德尔迭代法的思想及迭代格式 74

三、超松弛迭代法的设计思想及迭代格式 76

四、最佳松弛因子ωopt 78

习题 2.1 78

§2.2 迭代矩阵 79

一、雅可比迭代法 79

二、赛德尔迭代法 80

三、超松弛迭代法 80

习题 2.2 81

§2.3 迭代法的收敛性定理 81

一、利用迭代矩阵判断一般迭代法收敛的定理 81

三、SOR法收敛性定理 84

二、利用原始系数矩阵特征判断该方程组应用J法和 84

S法的收敛性定理 84

四、迭代法的特点 85

习题　2.3 85

＊第三章　矩阵特征值的计算与解m×n线性方程组 87

的奇异值分解法 87

§3.1　引言 87

§3.2　计算特征值的带原点位移的QR算法 88

一、QR算法的基本思想及迭代格式 88

二、几个问题的讨论 89

三、求对称三对角矩阵特征值的带位移的QR算法 91

§3.3　奇异值分解的理论基础 96

一、奇异值分解的存在性 96

二、奇异值分解的唯一性 99

三、奇异值的特征 99

四、奇异值分解的稳定性 101

一、基本思想 102

§3.4　m×n矩阵的奇异值分解方法 102

二、任意m×n矩阵等价变换为上双对角阵的方法 103

三、上双对角阵的对角化方法与原理 105

四、原点位移量的计算 109

五、奇异值分解计算实例 110

§3.5　用奇异值分解法解线性方程组的依据 114

和算法 114

一、任意m×n线性方程组解的形式及广义逆矩阵A+ 114

概念初步 114

二、奇异值分解法解m×n线性方程组 116

§3.6 奇异值分解法与其它几种解方程方法 118

的结果比较 118

第二篇　数值逼近 121

第四章　插值法 121

§4.1 n次拉格朗日插值 123

一、插值多项式的构成 123

二、代数插值多项式的存在唯一性 125

三、Ln（x）的截断误差与收敛性 126

四、Ln（x）的舍入误差与数值稳定性 130

习题　4.1 132

§4.2　等距节点n次拉格朗日插值多项式 132

Ln（t） 132

§4.3　等距点分段线性插值 134

一、Lh1（t）的构造 134

二、截断误差Rh1（t） 136

三、数值稳定性与收敛性 136

§4.4　等距点三次样条插值 138

一、问题的提出 138

二、基本概念 139

三、S1（t）的构造方法 141

四、计算步骤 146

五、截断误差、收敛性与稳定性定理 148

二、数值积分的基本思想和类型 150

一、问题的提出 150

第五章　数值积分与微分 150

§5.1　数值积分基本概念 150

三、精度的衡量指标 153

四、牛顿-柯特斯求积公式 154

习题 5.1 157

§5.2　复化求积公式 157

一、复化梯形公式 158

二、复化辛卜生公式 161

习题 5.2 164

§5.3　高斯求积公式 164

一、基本思想 164

二、正交多项式 164

三、高斯型求积公式的构造 166

四、高斯—勒让德求积公式 169

一、数值微分的概念及类型 174

§5.4　插值求导与样条求导 174

习题 5.3 174

二、插值求导法 175

三、样条求导法 179

习题 5.4 183

第六章　最小二乘拟合 184

§6.1　基本概念 184

§6.2　代数多项式拟合 187

一、代数拟合多项式的构造方法 187

二、等距点代数多项式拟合 188

三、法方程系数阵的正定性及解的存在唯一性 191

四、法方程解的数值稳定性 192

五、在物化探解释计算中的应用 193

习题　6.2 194

§6.3　等距点正交多项式拟合 195

一、正交多项式的构造方法 195

二、曲线拟合步骤 199

三、收敛性 202

四、优点 203

附录　等距点正交多项式的构造 204

第三篇　地球物理正反演的数值方法 209

第七章　最小二乘最优化反演 209

§7.1　基本概念 209

§7.2　基础理论 212

一、多变量函数的微分 212

二、多元函数的泰勒展开 215

三、极小点及其判定条件 216

四、二次目标函数的极小点 218

习题　7.2 219

§7.3　最小二乘法（高斯法） 220

一、算法的基本思想 221

二、算法的导出 221

三、收敛性 223

习题　7.3 224

一、基本思想 225

§7.4 阻尼最小二乘法（M法） 225

二、算法的导出 226

三、阻尼最小二乘法实质 226

四、阻尼因子的选择 229

五、算法 229

六、存在的问题 231

§7.5 改进的阻尼最小二乘法（MF法） 231

一、调整λ的准则 231

二、乘子v的选取 235

三、截止阻尼系数λc的选取 235

附录7.1 公式v＝2—？的导出方法 236

附录7.2　定理7.5-1的证明 238

§8.1 广义逆反演原理及算法 240

一、问题的提出 240

＊第八章　广义逆反演法 240

二、广义逆反演算法 242

§8.2　改进的广义逆反演法 243

一、广义逆反演法与阻尼最小二乘法的内在联系 243

二、改进的广义逆反演法 245

§8.3　广义逆反演的辅助信息 245

一、数据分辨矩阵 246

二、模型分辨矩阵 248

三、协方差矩阵 250

四、分辨率与协方差的关系 251

§8.4　广义逆反演实例 253

附录1 地球物理反问题中线性方程组的类型 255

附录2 广义逆矩阵 257

一、广义逆矩阵的一般概念 257

二、相应于相容方程组的广义逆矩阵A- 259

三、相容线性方程组的最小范数解及广义逆矩阵A？ 262

四、矛盾方程组的最小二乘解及广义逆矩阵A？ 266

阵A+ 268

五、矛盾方程组的最小二乘最小范数解及广义逆矩 268

六、广义逆的性质 269

附录3 随机变量的协方差矩阵 271

第九章　解二维电（磁）场椭圆方程的有限元法 273

§9.1 与椭圆方程边值问题等价的变分问题 273

一、基本概念 273

二、椭圆方程边值问题的变分提法 277

§9.2　有限元法基本思想 279

§9.3　二维区域的三角剖分及分片线性插值 282

一、三角剖分 282

二、三角分片线性插值 283

§9.4　二维电（磁）场有限元解法的建立 288

一、剖分区域 288

二、单元分析 289

三、总体合成及求解线性方程组 292

§9.5　拉氏方程混合边值问题求解实例 296

四、有限元程序框图 296

§9.6　有限元法的特点和优点 302

§9.7　几个问题的说明 304

一、关于矩阵K的非负性和K11的正定性 304

二、关于？＝∫eNsρdxdy的计算方法 305

三、关于有限元法的收敛性 307

第十章　快速傅里叶变换 309

§10.1 引言 309

第四篇　数字信号处理 309

§10.2 同余数概念和数的二进制表示 312

一、减少乘法次数的基本思想及同余数概念 312

二、二进制数的表示 313

§10.3 一维复序列的FFT算法 314

一、N＝4的FFT算法 314

二、N＝8的FFT算法 318

三、任意N＝2m改进的FFT算法 321

一、傅氏变换的三个有关性质 324

§10.4 一维实序列的FFT算法 324

习题　10.3 324

二、实序列FFT算法的基本思想 325

三、实序列频谱的计算 326

四、实序列FFT算法 328

五、实例 329

§10.5　二维实序列FFT算法 331

一、二维实序列FFT的基本思想 331

二、利用一维复FFT实现二维复FFT的算法 332

三、用Rmn、Imn换算Xmn 334

四、二维实序列的FFT算法 338

五、二维实序列FFT在位场转换中的应用 339

第十一章　Z变换、褶积、相关与反褶积 342

§11.1 Z变换的引例及有关概念 342

§11.2 Z变换 348

一、Z变换的定义 348

二、收敛域 349

三、序列的Z变换与序列频谱的关系 351

四、Z变换的性质 352

§11.3　逆Z变换 352

一、直接展开法 352

二、回路积分法 354

§11.4　快速褶积 355

一、基本思想 355

二、基本问题的讨论 356

三、快速褶积算法 360

§11.5　快速相关 364

一、基本概念 364

二、快速相关算法 369

§11.6　反褶积（反滤波） 373

一、问题的提出 373

二、反滤波器 376

三、反褶积及其解法 379

参考文献 383