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第一章 集合与函数 1

一、教学基本要求 1

二、释疑解惑 1

问题1单调函数必有单值反函数，不单调的函数是不是一定没有单值反函数？ 1

问题2怎样判断一个函数是不是周期函数？ 2

问题3是否所有的周期函数都有最小正周期？ 2

问题4三角函数的角的度量为什么要采用弧度制？ 2

问题5两个无界函数的乘积仍然无界吗？ 3

问题6分段函数一定不是初等函数吗？ 3

三、典型题型分析 3

1.集合的运算 3

2.求函数的定义域 4

3.求函数的表达式 5

4.求反函数 6

5.判定函数的奇偶性 6

6.指数运算和对数运算 7

7.三角恒等式的化简、求值与证明 7

8.三角函数的最值与周期 8

9.求反三角函数的值 9

10.函数的复合与分解 10

四、习题一全解 11

五、同步测试题和参考答案或提示 19

第二章 极限与连续函数 23

一、教学基本要求 23

二、释疑解惑 23

问题1有哪几种情形，极限可能不存在？ 23

问题2已知函数的极限值，如何确定函数中的常数？ 24

问题3无穷小是零吗？ 25

三、典型题型分析 26

1.求函数极限的方法 26

2.讨论函数的连续性 29

3.讨论函数的间断点 30

4.利用零值定理证明根的存在性 30

四、习题二全解 31

五、同步测试题和参考答案或提示 40

第三章 一元函数的导数与微分 43

一、教学基本要求 43

二、释疑解惑 43

问题1f′（x0）,（f（x））′与（f（x0））′有何区别与联系？ 43

问题2如何求分段函数的导数？ 44

问题3函数的导数与微分有何区别与联系？ 44

问题4一阶微分形式的不变性有何意义？ 45

三、典型题型分析 45

1.用导数的定义讨论函数的导数 45

2.求函数和、差、积、商的导数 46

3.求复合函数的导数 46

4.分段函数的导数 47

5.利用导数的几何意义求曲线的切线及法线 47

6.求函数的高阶导数 48

7.求函数的微分 48

8.求隐函数的导数 49

9.求参数方程所确定的函数的导数 50

10.导数的应用 50

四、习题三全解 51

五、同步测试题和参考答案或提示 67

第四章 导数的应用 71

一、教学基本要求 71

二、释疑解惑 71

问题1利用洛必达法则求未定式的极限要注意哪些问题？ 71

问题2函数的单调性如何判定？ 72

问题3如何利用函数的单调性证明函数（数值）不等式？ 73

问题4求函数的极值和最值的一般步骤是什么？ 74

问题5怎样确定曲线的凹凸性及拐点？ 74

三、典型题型分析 75

1.利用洛必达法则求极限 75

2.讨论函数的单调性 75

3.用函数的单调性证明根的唯一性 76

4.证明函数不等式 76

5.求函数的极值与最值 77

6.判定曲线的凹凸性及拐点 77

四、习题四全解 77

五、同步测试题和参考答案或提示 88

第五章 不定积分 91

一、教学基本要求 91

二、释疑解惑 91

问题1“若F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，则称F（x）是f（x）的原函数，F（x）+C为f（x）的不定积分”，这种说法对吗？ 91

问题2若f（x）在某区间内不连续，则在该区间内f（x）必无原函数吗？ 92

问题3不定积分可以有多种表达式吗？ 92

问题4凡奇函数的原函数都是偶函数，偶函数的原函数都是奇函数，对吗？ 92

问题5下面的计算过程错在哪里？ 92

问题6求分段函数的不定积分时应注意什么？ 93

三、典型题型分析 93

1.直接积分法 93

2.已知函数的原函数求函数 94

3.用第一类换元法求积分 94

4.用第二类换元法求积分 98

5.用分部积分法求积分 100

6.简单有理函数的积分 102

7.分段函数的不定积分 103

8.已知函数或函数的原函数，求含有导函数的积分 103

四、习题五全解 104

五、同步测试题和参考答案或提示 116

第六章 定积分及其应用 121

一、教学基本要求 121

二、释疑解惑 121

问题1在定积分的定义中,λ→0和n→∞等价吗？ 121

问题2对积分上限的函数求导应注意什么？ 122

问题3用牛顿—莱布尼茨公式计算定积分时，不会因为所选的原函数不同而导致不同的结果，这是为什么？ 122

问题4定积分I=？1-1 1/1+x2dx，为什么用两种方法计算结果不同？ 122

问题5不定积分和定积分的第二换元法有何不同？ 123

问题6怎样计算被积函数含有绝对值符号的定积分？ 123

问题7用微元法为何有两个要求？ 124

三、典型题型分析 124

1.利用定积分的性质比较积分值的大小 124

2.与积分上限的函数有关的计算 125

3.用换元法计算定积分 126

4.用分部积分法计算定积分 127

5.被积函数含绝对值的定积分 128

6.利用被积函数的奇偶性计算定积分 129

7.定积分应用 130

四、习题六全解 131

五、同步测试题和参考答案或提示 152

第七章 常微分方程 154

一、教学基本要求 154

二、释疑解惑 154

问题1微分方程的通解是否包含所有的解？ 154

问题2微分方程会出现漏解吗？ 154

问题3如何使用解的结构定理？ 155

问题4如何用微分方程解决实际问题？ 155

三、典型题型分析 155

1.关于微分方程的基本概念的问题 155

2.可分离变量方程 156

3.一阶线性微分方程——公式法或常数变易法 157

4.可降阶的高阶微分方程 159

5.二阶常系数齐次线性微分方程——特征方程法 161

6.二阶常系数非齐次线性微分方程——待定系数法 162

7.微分方程的应用 164

四、习题七全解 165

五、同步测试题和参考答案或提示 176

第八章 向量代数与空间解析几何 180

一、教学基本要求 180

二、释疑解惑 180

问题1空间一点的坐标和向量的坐标都是三元有序实数组，它们有什么不同？ 180

问题2向量的内积有哪些应用？ 181

问题3向量的向量积有哪些应用？ 182

问题4如何求点在直线或平面上的投影点及其应用？ 182

三、典型题型分析 183

1.求两点间的距离 183

2.向量的线性运算 183

3.求向量的内积 184

4.求向量的向量积 184

5.关于空间曲面的问题 185

6.求旋转曲面的方程 185

7.建立平面的方程 186

8.建立空间直线的方程 186

9.平面、空间直线之间的关系 187

四、习题八全解 188

五、同步测试题和参考答案或提示 197

第九章 二元函数的微分与积分 201

一、教学基本要求 201

二、释疑解惑 201

问题1一元函数的极限与二元函数的极限有何异同？ 201

问题2一元函数的导数记号dy/dx可以理解为dy与dx之商，多元函数的偏导数记号？z/？x能否理解为？z与？x之商？ 202

问题3二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间有什么关系？ 202

问题4二元函数的极值是否一定在驻点取得？ 203

问题5二重积分的定义与定积分的定义有哪些相同和不同之处？ 203

问题6计算二重积分分哪几步？如何确定累次积分的上、下限？ 204

问题7如何利用积分区域的对称性计算二重积分？ 204

三、典型题型分析 205

1.求二元函数的表达式 205

2.求二元函数的极限 205

3.证明二元函数的极限不存在 206

4.求二元函数的偏导数 206

5.求二元函数的全微分 208

6.二元复合函数求导 208

7.求二元函数的极值和最值 208

8.计算二重积分 209

四、习题九全解 210

五、同步测试题和参考答案或提示 217

第十章 无穷级数 221

一、教学基本要求 221

二、释疑解惑 222

问题1无穷级数是否满足结合律和交换律？ 222

问题2若正项级数∞∑n=1un收敛，是否一定有limn→∞ un+1/un＝ρ＜1？ 222

问题3若幂级数∞∑n=0anxn的收敛半径为R，当x=±R时，幂级数∞∑n=1anxn是否收敛？ 222

问题4如何求幂级数的和函数？ 223

问题5函数展开为傅里叶级数，其形式是否唯一？ 223

三、典型题型分析 223

1.利用级数收敛的定义判定级数的敛散性 223

2.利用级数收敛的必要条件与级数的性质判定级数的敛散性 224

3.正项级数的审敛法 225

4.交错级数的审敛法 226

5.任意项级数的审敛法 226

6.求幂级数的收敛半径和收敛区间 227

7.求幂级数的和函数 228

8.求常数项级数的和 229

9.将函数展开成幂级数 229

10.将函数展开成傅里叶级数 230

四、习题十全解 232

五、同步测试题和参考答案或提示 248

附录 教学质量评价抽测题及其参考答案 251

参考文献 264