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第零章 复习和补充 1

0.0 记号．复习 1

0.1 外代数 3

0.2 微分法 8

0.3 向量空间的开集上的微分形式 17

0.4 积分法 24

0.5 习题 27

第一章 微分方程 29

1.1 概述 30

1.2 不依赖时间的微分方程：局部解的存在性 31

1.3 整体唯一性研究．整体流 37

1.4 依赖时间的向量场．依赖一个参数的向量场 41

1.5 唯一性和对于依赖时间的向量场的整体流 43

1.6 相关知识和线性方程 43

第二章 微分流形 46

2.1 Rn的子流形 47

2.2 抽象流形 53

2.3 态射 61

2.4 覆叠映射．商 67

2.5 切空间 74

2.6 子流形，浸入，浸没，嵌入 86

2.7 单位法丛…管形 91

2.8 习题 96

第三章 单位分解．密度．曲线 103

3.1 紧致流形的嵌入 103

3.2 单位分解 106

3.3 流形上的密度 110

3.4 一维连通流形的分类 115

3.5 流形上的向量场和微分方程 119

3.6 习题 126

第四章 临界点 128

4.1 定义．例子 128

4.2 数值函数的非退化临界点．莫尔斯的简约 132

4.3 萨德定理 142

4.4 习题 145

第五章 流形上的微分法 147

5.1 丛ArT＊X 148

5.2 流形上的微分形式 149

5.3 最大阶的微分形式和定向 156

5.4 德拉姆群 170

5.5 李导数 174

5.6 星形开集．庞加莱引理 178

5.7 球面和射影空间的德拉姆群 180

5.8 环面的德拉姆群 184

5.9 习题 187

第六章 流形上的积分法 190

6.1 d维定向流形上d阶微分形式的积分 191

6.2 斯托克斯定理 197

6.3 斯托克斯定理的第一批应用 201

6.4 欧几里得空间的定向子流形的典范体积形式 205

6.5 欧几里得空间的定向子流形的体积 209

6.6 欧几里得空间的子流形的典范密度 217

6.7 管形的体积Ⅰ：体积形式的补充 221

6.8 管形的体积Ⅱ 230

6.9 管形的体积Ⅲ 236

6.10 习题 241

第七章 映射度理论 247

7.1 预备引理 248

7.2 德拉姆群Rd（X）的确定 254

7.3 映射度 256

7.4 映射度对于同伦的不变性．应用 260

7.5 管形的体积（结尾）和高斯－博内公式 266

7.6 属于C0（S1;S1）的映射的映射度 271

7.7 抽象流形上向量场的指标 274

7.8 习题 277

第八章 曲线的局部理论 280

8.0 引言 281

8.1 定义 282

8.2 仿射不变量：切线，密切平面，凸性 286

8.3 长度．欧几里得空间的曲线的弧长参数表示 291

8.4 欧几里得空间的曲线的曲率 293

8.5 在欧几里得定向平面内的定向平面曲线的代数曲率 298

8.6 欧几里得空间（3维的）双正则曲线的挠率 301

8.7 习题 308

第九章 平面曲线的整体理论 317

9.1 定义 318

9.2 若尔当定理 321

9.3 等周不等式 326

9.4 平面曲线的回转数 329

9.5 切线回转定理 333

9.6 整体凸性 338

9.7 四顶点定理 341

9.8 法布里修斯－布耶尔－哈泊恩公式 344

9.9 习题 351

第十章 R3的曲面的局部理论的简短导引 353

10.1 定义 354

10.2 例子 355

10.3 曲面的两个基本形式 374

10.4 通过第一基本形式计算的量（2维黎曼几何） 375

10.5 高斯曲率 385

10.6 第二基本形式以及通过它计算的量 391

10.7 曲面的两个基本形式之间的关系 403

10.8 关于Rn+1中的超曲面 404

第十一章 曲面的整体理论的简短导引 405

第一部分 2维整体黎曼流形 407

11.1 最短路径的整体问题 407

11.2 常曲率的曲面 409

11.3 度量性质：一阶和二阶变分公式 410

11.4 最短路径的唯一性和单射半径 411

11.5 K≥k的流形 414

11.6 K≤k的流形 416

11.7 高斯－博内公式和霍普夫公式 417

11.8 曲面上的等周不等式 419

11.9 周期测地线和等收缩不等式 420

11.10 只有周期测地线的曲面 422

11.11 两部分间的过渡：嵌入和浸入问题 423

第二部分 嵌入或浸入到R3内的曲面 424

11.12 零曲率的曲面 424

11.13 高斯曲率为正或零的曲面 425

11.14 唯一性和刚性 426

11.15 K＜0的曲面 427

11.16 平均曲率为零的曲面，又名极小曲面 428

11.17 平均曲率是常数的曲面或肥皂泡曲面 430

11.18 魏因加滕曲面 431

11.19 作为平面族的包络的曲面：公式和应用 432

11.20 对于曲面的等周不等式 435

11.21 花束：球面和迪潘四次圆纹曲面的表征 436

参考文献 440

法中术语对照 446

索引 461