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第7章 不定积分 1

7.1 不定积分的概念 1

7.1.1 原函数 1

7.1.2 不定积分的定义 2

7.1.3 不定积分的性质 3

7.1.4 不定积分基本公式 3

7.2 不定积分的计算 7

7.2.1 第一换元积分法（凑微分法） 8

7.2.2 第二换元积分法 12

7.2.3 分部积分法 15

7.3 不定积分方法探究 17

7.3.1 凑微分法 17

7.3.2 倒代换法 19

7.3.3 循环积分 19

7.3.4 分部积分递推式 20

7.3.5 分部积分竖式算法 21

7.3.6 分段函数的不定积分 25

7.4 有理函数的不定积分 26

7.5 几种无理函数的不定积分 31

7.5.1 情形Ⅰ？ 31

7.5.2 情形Ⅱ？ 32

7.5.3 情形Ⅲ？ 33

7.6 三角有理函数的不定积分 35

7.6.1 情形Ⅰ ∫R（sinx,cosx）dx 35

7.6.2 情形Ⅱ ∫sinnxcosmxdx 38

7.6.3 情形Ⅲ ∫sinmx cosnx dx 39

7.6.4 情形Ⅳ ∫asinx+bcosx/c sinx+dcosxdx 39

习题7 41

第8章 定积分及其应用 48

8.1 定积分的概念 48

8.1.1 问题的提出 48

8.1.2 定积分的定义 50

8.1.3 定积分的几何意义 51

8.2 定积分的性质 52

8.3 微积分基本定理 55

8.3.1 积分上限函数 55

8.3.2 微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式） 56

8.4 定积分的计算 58

8.4.1 定积分的换元积分法 58

8.4.2 定积分的分部积分法 60

8.5 广义微元法 62

8.5.1 微元法 62

8.5.2 定积分定义 63

8.5.3 定积分定义的拓展 64

8.5.4 定积分性质 68

8.5.5 利用定积分定义求极限 68

8.6 广义积分 70

8.6.1 无穷积分 70

8.6.2 瑕积分 72

8.7 定积分方法拓展 73

8.8 定积分应用 80

8.8.1 定积分的几何应用 80

8.6.2 定积分的物理应用 87

8.6.3 定积分的经济学应用 88

习题8 89

第9章 重积分 96

9.1 重积分的概念 96

9.1.1 二重积分的相关概念 96

9.1.2 三重积分的相关概念 98

9.1.3 重积分的性质 99

9.2 二重积分的计算 101

9.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 101

9.2.2 极坐标系下二重积分的计算 104

9.2.3 利用对称性计算二重积分 107

9.3 三重积分的计算 107

9.3.1 直角坐标系下三重积分的计算 107

9.3.2 柱坐标系下三重积分的计算 110

9.3.3 利用对称性计算三重积分 113

9.4 二重积分的计算方法拓展 114

9.5 三重积分的计算方法拓展 121

9.6 重积分的应用 128

9.6.1 平均利润问题 128

9.6.2 质量问题 129

9.6.3 质心问题 129

9.6.4 转动惯量问题 131

9.6.5 引力问题 132

习题9 134

第10章 曲线积分与曲面积分 141

10.1 预备知识 141

10.1.1 场的概念 141

10.1.2 单连通与复连通区域 142

10.1.3 平面区域D的边界曲线L的正向 142

10.1.4 曲面的侧与有向曲面 142

10.2 线面积分的概念 143

10.2.1 第Ⅰ型曲线积分的相关概念 143

10.2.2 第Ⅱ型曲线积分的相关概念 144

10.2.3 第Ⅰ型曲面积分的相关概念 144

10.2.4 第Ⅱ型曲面积分的相关概念 145

10.3 线面积分的性质 146

10.3.1 第Ⅰ型线面积分的性质 146

10.3.2 第Ⅱ型线面积分的性质 147

10.4 曲线积分的计算 148

10.4.1 第Ⅰ型曲线积分的计算 148

10.4.2 第Ⅱ型曲线积分的计算 151

10.5 曲面积分的计算 154

10.5.1 第Ⅰ型曲面积分的计算 154

10.5.2 第Ⅱ型曲面积分的计算 158

10.6 格林（Green）公式及其应用 162

10.6.1 格林公式 162

10.6.2 格林公式的简单应用 166

10.6.3 平面上曲线积分与路径无关的条件 166

10.6.4 全微分求积 169

10.7 高斯（Gauss）公式 171

10.8 斯托克斯（Stokes）公式 174

10.9 积分学基本定理解析 176

10.10 曲线积分方法拓展 178

10.10.1 方法概述 178

10.10.2 例题选讲 179

10.11 曲面积分方法拓展 180

10.11.1 方法概述 180

10.11.2 例题选讲 181

10.12 线面积分的应用 184

10.12.1 线面积分的几何应用 184

10.12.2 线面积分的物理应用 185

习题10 193

第11章 无穷级数 200

11.1 无穷级数的概念 201

11.1.1 常数项级数的一般概念 201

11.1.2 收敛级数的基本性质 206

11.1.3 函数项级数的一般概念 207

11.1.4 幂级数的概念 208

11.2 数项级数 209

11.2.1 正项级数审敛法 209

11.2.2 任意项级数审敛法 213

11.2.3 交错级数审敛法 215

11.3 幂级数 217

11.3.1 幂级数的敛散性 217

11.3.2 幂级数的和函数 220

11.4 函数展开成幂级数 223

11.4.1 泰勒公式 224

11.4.2 泰勒级数 225

11.4.3 某些初等函数的幂级数展开式 226

11.4.4 函数幂级数展开式的应用 228

11.5 数项级数敛散性解析 231

11.6 函数项级数敛散性解析 236

11.7 傅里叶级数 244

11.7.1 三角级数与傅里叶级数 244

11.7.2 函数展开成傅里叶级数 246

11.7.3 周期与非周期函数的傅里叶级数展开 254

习题11 255

第12章 常微分方程 262

12.1 微分方程的概念 262

12.2 一阶微分方程 266

12.2.1 可分离变量的微分方程 266

12.2.2 齐次微分方程 270

12.2.3 一阶线性微分方程 273

12.2.4 伯努利方程 276

12.3 二阶线性齐次微分方程 278

12.3.1 二阶线性齐次微分方程解的结构 278

12.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程 280

12.3.3 高阶常系数齐次线性微分方程的解法 282

12.4 全微分方程 283

12.5 可降阶的高阶微分方程 287

12.5.1 y(n)=f（x）型微分方程 288

12.5.2 y″=f（x,y′）型微分方程 288

12.5.3 y″=f（y,y′）型微分方程 289

12.5.4 通过换元转化为可降阶的微分方程 290

12.6 二阶线性非齐次微分方程的解 291

12.6.1 二阶线性非齐次微分方程解的结构 291

12.6.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 293

12.7 微分方程的应用 300

12.7.1 常微分方程在经济学中的应用 300

12.7.2 常微分方程在几何问题中的应用 301

12.7.3 常微分方程在物理问题中的应用 303

12.7.4 常微分方程在其他领域的应用 304

习题12 306

附录A 积分表 311

附录B 习题答案（下） 320

参考文献 343