数值计算方法PDF电子书下载

第一章 绪论 1

1.1 数值计算方法研究的对象、内容及特点 1

1.2 误差 3

1.2-1 误差的来源及分类 3

1.2-2 绝对误差（限）、相对误差（限）及与有效数字问的关系 5

1.2-3 数值运算中误差的影响 9

1.3 算法的数值稳定性 11

习题 13

第二章 插值法 14

2.1 基本概念 14

2.2 拉格朗日（Lagrange）插值 15

2.2-1 插值问题的基本提法 15

2.2-2 插值多项式的存在唯一性 16

2.2-3 插值余项 16

2.2-4 拉格朗日插值多项式 18

2.3 逐次线性插值 25

2.4 差商与牛顿（Newton）插值 27

2.5 差分及等距节点的牛顿插值 32

2.6 分段低次插值多项式 39

2.7 三次埃尔米特（Hermite）插值 42

2.7-1 插值问题的基本提法 42

2.7-2 插值公式的构造 42

2.8 三次样条插值 46

2.8-1 插值问题的基本提法 47

2.8-2 三次样条插值公式 49

习题二 63

上机计算题 67

第三章 曲线拟合的最小二乘法 69

3.1 最小二乘拟合问题 70

3.2 最小二乘解的求法 71

3.3 非线性最小二乘拟合的线性化 79

3.4 加权最小二乘法 83

3.5 利用正交多项式做最小二乘拟合 86

3.6 多变量的曲线拟合 91

习题三 94

第四章 数值积分 96

4.1 牛顿－柯特斯（Newton-Cotes）求积公式 96

4.1-1 插值型求积公式 97

4.1-2 牛顿－柯特斯求积公式 98

4.2 代数精度与误差估计 101

4.2-1 代数精度 101

4.2-2 误差估计 104

4.3 复化公式及误差估计 107

4.4 梯形逐次分半求积公式 114

4.4-1 步长的自动调整 114

4.4-2 梯形的逐次分半算法 116

4.5 龙贝格（Romberg）求积公式 120

4.6 高斯（Gauss）型求积公式 126

4.6-1 正交多项式 128

4.6-2 正交多项式与高斯点组的关系 131

4.6-3 高斯型求积公式 131

4.6-4 复化高斯型求积公式 139

4.7 求积公式的收敛性与稳定性 140

4.8 二重数值积分 142

4.8-1 复化求积公式 143

4.8-2 高斯型求积公式 146

习题四 148

第五章 解线代数方程组的直接法 152

5.1 高斯（Gauss）消去法 153

5.1-1 计算公式 153

5.1-2 高斯消去法计算量的估计 158

5.1-3 高斯消去法进行到底的条件 159

5.2 矩阵的三角分解 160

5.2-1 初等下三角矩阵（高斯变换矩阵） 160

5.2-2 矩阵的三角分解 162

5.2-3 矩阵三角分解的计算格式 165

5.3 直接三角分解法解方程组 168

5.4 选主元消去法 170

5.4-1 完全主元素消去法 171

5.4-2 列主元素消去法 173

5.5 解对称正定矩阵方程组的平方根法及改进 175

5.5-1 平方根法 175

5.5-2 改进平方根法 177

5.6 解三对角方程组的追赶法 180

5.7 用直接法解大型带状方程组 184

5.7-1 三角分解法解等带宽方程组 184

5.7-2 改进平方根法解对称正定带状方程组 187

5.7-3 带状阵的压缩存贮 188

5.7-4 用改进平方根法解大型变带宽对称正定方程组Ax=b 192

习题五 197

上机计算题 199

第六章 解线代数方程组的迭代法 201

6.1 向量与矩阵的范数 201

6.1-1 向量的范数 201

6.1-2 矩阵的范数 204

6.1-3 矩阵的谱半径及其与范数的关系 208

6.2 解Ax=b的迭代法 211

6.3 雅可比（Jacobi）迭代法与高斯－塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法 213

6.3-1 雅可比迭代法 213

6.3-2 高斯－塞德尔迭代法 214

6.3-3 雅可比迭代法和高斯－塞德尔迭代法的矩阵表示 216

6.4 迭代法的收敛性与误差估计 218

6.5 松弛迭代法 226

6.5-1 理查逊迭代法与雅可比超松弛迭代法 226

6.5-2 逐次超松弛迭代法（SOR方法） 228

6.5-3 对称的SOR迭代法（SSOR方法） 232

6.6 解特殊方程组的收敛性 233

6.7 方程组的条件数与病态方程组的求解 236

6.7-1 方程组的状态与条件数 236

6.7-2 病态方程组的识别及求解 243

习题六 249

上机计算题 253

第七章 方程求根 254

7.1 引言 254

7.2 二分法（对分法） 257

7.3 简单迭代法及收敛性 260

7.3-1 化等价方程 260

7.3-2 迭代法 261

7.3-3 几何意义 263

7.3-4 迭代法的收敛性与误差估计 265

7.4 牛顿（Newton）迭代法及变形 271

7.4-1 迭代法的收敛阶 271

7.4-2 牛顿迭代法（切线法） 271

7.4-3 牛顿迭代法的收敛性与收敛阶 273

7.4-4 牛顿迭代法的变形 278

7.5 割线法与抛物线法 282

7.5-1 割线法 282

7.5-2 抛物线法 285

7.6 埃特金（Aitken）加速法 286

习题七 290

第八章 非线性方程组的迭代法解法 292

8.1 多元分析简介 293

8.1-1 非线性映象的微商 293

8.1-2 非线性映象的积分 295

8.2 简单选代法 298

8.3 牛顿迭代法及其变形 308

8.3-1 牛顿迭代法 308

8.3-2 牛顿型迭代法 310

8.3-3 收敛性的讨论 313

8.4 离散型牛顿法 316

8.4-1 映象的线性插值 317

8.4-2 割线法及离散牛顿型方法 317

8.5 拟牛顿法 320

8.5-1 布罗依登（Broyden）算法 321

8.5-2 PSB算法 322

8.5-3 DFP算法 324

8.5-4 BFGS算法 324

习题八 325

第九章 矩阵特征问题的求解 328

9.1 引言 328

9.2 乘幂法与反幂法 331

9.2-1 乘幂法 331

9.2-2 乘幂法的加速及降阶 339

9.2-3 反幂法 343

9.3 子空间迭代法 344

9.4 对称矩阵的雅可比（Jacobi）旋转法 347

9.4-1 平面旋转阵（吉文斯变换） 348

9.4-2 雅可比旋转法 352

9.4-3 雅可比过关法 356

9.5 QR算法 357

习题九 363

上机计算题 364

第十章 常微分方程数值解法 366

10.1 初值问题数值解的概念 366

10.2 几种简单的数值方法 367

10.2-1 数值公式的构造 367

10.2-2 收敛性及误差估计 368

10.2-3 隐格式的迭代求解 371

10.2-4 改进欧拉方法 373

10.3 龙格－库塔（Runge-Kutta）方法 376

10.4 单步法的收敛性及稳定性 380

10.4-1 收敛性 380

10.4-2 稳定性 383

10.5 线性多步法 387

10.5-1 插值法求解线性多步法公式 387

10.5-2 待定系数法 394

10.6 预估－校正法 396

10.7 一阶常微分方程组与高阶方程的数值解法 399

10.7-1 一阶常微分方程组的数值解法 399

10.7-2 高阶方程数值解法 402

10.8 边值问题的差分解法 404

10.8-1 差分方程的建立 405

10.8-2 差分方程解的存在与唯一性 406

10.8-3 差分方程的收敛性及误差估计 408

10.8-4 解差分方程组的追赶法 410

10.8-5 对一般二阶常微分方程第三边值问题的数值解法 411

习题十 414

参考书目 419