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第1章 集合论基础 1

1.1 集合的基本概念与运算 1

1.1.1 集合的基本概念 1

1.1.2 集合的运算 2

1.1.3 上限集、下限集及集列的极限 2

1.2 映射与集合的势 5

1.2.1 映射的基本概念 5

1.2.2 映射的运算 6

1.2.3 集合的特征函数 6

1.2.4 映射的延拓 7

1.2.5 集合的势 8

习题 10

第2章 测度论 12

2.1 环上的测度 12

2.1.1 环、σ-环、代数、σ-代数 12

2.1.2 测度及其基本性质 15

2.2 Lebesgue测度 17

2.2.1 环R0上的测度 17

2.2.2 外测度m＊ 19

2.2.3 Lebsgue测度 19

2.2.4 Borel集 23

2.3 可测集与可测函数 27

2.3.1 可测集、可测函数 27

2.3.2 可测函数的性质 28

2.3.3 可测函数的极限 31

2.3.4 Lebsgue积分 34

习题 35

第3章 赋范线性空间 38

3.1 赋范线性空间与Banach空间 38

3.1.1 赋范线性空间 38

3.1.2 Banach空间 41

3.1.3 范数的等价、紧集 43

3.1.4 有限维赋范线性空间 43

3.2 赋范线性空间上的连续线性算子 46

3.2.1 线性算子 46

3.2.2 连续线性算子 48

3.2.3 有界线性算子空间 50

3.3 不动点理论 51

3.3.1 压缩映射与不动点定理 51

3.3.2 不动点理论的应用 55

习题 59

第4章 内积空间 62

4.1 内积与内积空间、Hilbert空间 62

4.1.1 内积与内积空间 62

4.1.2 由内积导出的范数 64

4.2 正交与投影 67

4.2.1 正交与投影的基本概念 67

4.2.2 投影定理 70

4.2.3 投影定理的应用 72

4.3 正交系与Fourier级数 76

4.3.1 正交系与标准正交系 76

4.3.2 Fourier级数 78

习题 81

第5章 泛函分析中的几个重要定理 84

5.1 Baire纲定理与共鸣定理 84

5.1.1 Baire纲定理 84

5.1.2 共鸣定理 87

5.1.3 共鸣定理的应用 92

5.2 开映射定理与泛函延拓定理 95

5.2.1 开映射定理 95

5.2.2 泛函延拓定理 99

5.3 逆算子定理与闭图像定理 103

5.3.1 逆算子定理 103

5.3.2 闭图像定理 105

习题 107

第6章 拓扑空间 109

6.1 拓扑空间与连续映射 109

6.1.1 拓扑空间 109

6.1.2 邻域、邻域系与拓扑基 112

6.1.3 聚点、闭集与极限 113

6.1.4 连续映射与同胚 116

6.2 紧致性与连通性 118

6.2.1 紧致性 118

6.2.2 连通性 120

6.3 可数公理与分离公理 122

6.3.1 可数公理 123

6.3.2 分离公理 125

习题 128

符号注释表 131

名词索引 133

参考文献 140