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第一章 函数与极限 1

1.1 函数概念 1

1．变量·区间 1

2．函数 2

3．函数的表示法·定义域 5

4．函数的几种特性 7

习题1.1 11

1.2 反函数·基本初等函数 13

1．反函数概念 13

2．基本初等函数 15

习题1.2 19

1.3 复合函数·初等函数 20

1．复合函数 20

2．初等函数 22

3．建立函数关系举例 24

习题1.3 25

1.4 极限概念 27

1．引例 27

2．数列的极限 29

3．函数的极限 33

习题1.4 38

1.5 极限的运算 39

1．极限的运算法则 40

2．两个重要极限 43

习题1.5 49

1.6 无穷小量·无穷大量 51

1．无穷小量 51

2．无穷小量的比较 52

3．无穷大量 53

4．无穷大量与无穷小量的关系 54

习题1.6 55

1.7 函数的连续性 56

1．连续函数 56

2．间断点 59

3．初等函数的连续性 63

4．闭区间上连续函数的性质 65

习题1.7 67

小结 68

第二章 导数与微分 72

2.1 导数概念 72

1．引例 72

2．导数的定义 75

3．导数的几何意义 77

4．可导与连续的关系 79

习题2.1 81

2.2 导数基本公式 82

1．常数的导数 82

2．幂函数的导数 82

3．正弦函数与余弦函数的导数 83

4．指数函数的导数 84

5．对数函数的导数 84

2.3 导数运算法则 85

1．函数的和、差、积、商的导数 85

2．反函数的导数 88

3．复合 89

函数的导数 89

习题2.2—2.3 91

2.4 隐函数及由参数方程表示的函数的导数 94

1．隐函数求导法 94

2．由参数方程表示的函数的导数 96

习题2.4 98

2.5 高阶导数 99

习题2.5 102

2.6 微分及其应用 103

1．微分概念 103

2．微分的几何意义 105

3．微分的运算 105

4．微分形式不变性 106

5．微分的应用 107

习题2.6 111

2.7 变化率问题举例 112

习题2.7 117

小结 118

第三章 中值定理与导数的应用 121

3.1 中值定理 121

1．罗尔定理 121

2．拉格朗日定理 122

3．柯西定理 125

习题3.1 126

3.2 罗必塔法则 127

习题3.2 134

3.3　用导数研究函数 135

1．函数的单调性 135

2．函数的极值 138

3．曲线的凹向与拐点 141

4．函数图形的描绘 143

习题3.3 147

3.4　最大值与最小值问题 149

习题3.4 154

3.5　曲线的曲率 156

1．曲率与弧长微分 156

2．曲率圆与曲率中心 160

3．渐屈线与渐伸线 163

习题3.5 165

小结 165

第四章　不定积分 168

4.1　原函数与不定积分 168

1．原函数 168

2．不定积分 169

习题4.1 171

4.2　不定积分的性质·基本公式 172

1．不定积分的性质 172

2．基本公式 173

习题4.2 175

4.3　换元积分法 175

习题4.3 182

4.4 分部积分法 184

习题4.4 187

4.5 有理函数的积分 188

习题4.5 194

4.6 三角函数的有理式的积分 194

习题4.6 196

4.7 简单无理函数的积分 197

习题4.7 202

小结 202

第五章 定积分及其应用 204

5.1 定积分概念 204

1．定积分概念的引入 204

2．定积分的定义 208

习题5.1 211

5.2 定积分的性质 211

习题5.2 213

5.3 牛顿-莱布尼兹公式 214

习题5.3 218

5.4 定积分的换元法与分部积分法 219

1．定积分的换元法 219

2．定积分的分部积分法 221

习题5.4 223

5.5 定积分的几何应用 224

1．平面图形的面积 225

2．立体的体积 228

3．平面曲线的弧长 231

4．旋转体的侧面积 233

习题5.5 234

5.6 定积分的物理应用 235

1．功 235

2．液体压力 236

习题5.6 237

5.7 广义积分 238

1．积分区间为无穷区间 238

2．被积函数有无穷型间断点 240

习题5.7 243

小结 244

第六章 微分方程 247

6.1 微分方程的基本概念 247

习题6.1 251

6.2 一阶微分方程 252

1．可分离变量的微分方程 252

2．一阶线性微分方程 255

3．应 261

用举例 261

习题6.2 266

6.3 可降阶的高阶微分方程 268

1．y(n)=f（x）型的微分方程 268

2．y″=f（x,y′）型的微分方程 269

3．y″=f（y,y′）型的微分方程 272

习题6.3 275

6.4 常系数线性微分方程 276

6.5 二阶常系数齐次线性微分方程 277

1．通解的结构 277

2．通解的求法 278

3．举例 281

习题6.4—6.5 282

6.6 二阶常系数非齐次线性微分方程 283

1．通解的结构 283

2．特解的求法 284

3．举例 286

习题6.6 291

6.7 二阶常系数线性微分方程应用举例 291

1．弹簧的振动 291

2．电磁振荡 297

3．举例 299

习题6.7 300

6.8 微分方程组 301

1．化方程组为高阶方程 302

2．对称型微分方程组 304

习题6.8 306

小结 307

附录Ⅰ 初等数学常用公式 309

1．代数 309

2．三角 309

3．几何 310

附录Ⅱ 一些常用曲线 312

附录Ⅲ 积分表 315

习题答案 326