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本章学习目标 1

1.1 函数 1

1.1.1　函数的概念 1

第1章　函数、极限与连续 1

1.1.2　复合函数 2

1.1.3　反函数与隐函数 2

1.1.4　初等函数 2

1.1.5　函数的基本性质 3

1.2.1　数列的极限 4

习题1.1 4

1.2　极限的概念 4

1.2.2 函数的极限 5

1.2.3　无穷小量与无穷大量 8

习题1.2 9

1.3　极限的运算 9

1.3.1　极限的运算法则 9

1.3.2　两个重要极限 11

1.3.3　无穷小的比较 12

习题1.3 13

1.4　函数的连续性 14

1.4.1 函数的连续性概念 14

1.4.2　函数的间断点及其分类 15

1.4.3　初等函数的连续性 16

1.4.4　闭区间上连续函数的性质 17

习题1.4 18

1.5　利用Mathematica作图及进行函数与极限运算 18

1.5.1　一元函数的图形 19

1.5.2 求极限 20

本章小结 21

复习题1 22

自测题1 23

第2章　导数与微分 25

本章学习目标 25

2.1　导数的概念 25

2.1.1 引例 25

2.1.2　导数的概念与几何意义 26

2.1.3 可导与连续的关系 29

习题2.1 29

2.2　求导法则 30

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 30

2.2.2　复合函数的导数 31

2.2.3　反函数的求导法则 32

2.2.4　初等函数的导数 33

2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数 34

2.2.6　高阶导数 36

习题2.2 37

2.3 微分 37

2.3.1 微分的概念 37

2.3.2　微分的几何意义 39

2.3.3　微分的运算法则 39

2.3.4　微分在近似计算中的应用 41

习题2.3 41

2.4.1　导数概念演示 42

2.4　用Mathematica进行求导与微分运算 42

2.4.2　用Mathematica求函数的导数和微分 43

本章小结 44

复习题2 45

自测题2 45

3.1　微分中值定理 47

3.1.1　罗尔中值定理 47

3.1.2　拉格朗日中值定理 47

本章学习目标 47

第3章　导数的应用 47

习题3.1 48

3.2　洛必达法则 48

习题3.2 51

3.3　函数的单调性、极值和最值 51

3.3.1 函数的单调性 51

3.3.2 函数的极值 52

3.3.3 函数的最大值和最小值 54

习题3.3 55

3.4 曲线的凹凸性与拐点 55

3.5 函数图形的描绘 57

习题3.4 57

习题3.5 58

3.6 曲率 59

3.7　用Mathematica求解导数的应用问题 60

本章小结 60

复习题3 61

自测题3 62

4.1　定积分与不定积分的概念 63

4.1.1 定积分的概念与性质 63

本章学习目标 63

第4章　积分 63

4.1.2　定积分基本公式 68

4.1.3　不定积分的概念与性质 71

4.1.4　基本积分公式 72

习题4.1 73

4.2　基本积分方法 75

4.2.1　换元积分法 75

4.2.2　分部积分法 82

4.2.3 简单有理函数和三角有理式的积分 85

习题4.2 88

4.3　广义积分 90

4.3.1 无穷区间上的广义积分 90

4.3.2　无界函数的广义积分 92

习题4.3 93

4.4.1　用Mathematica计算不定积分 94

4.4.2　用Mathematica演示变上限函数 94

4.4　用Mathematica求积分 94

本章小结 95

复习题4 96

自测题4 97

第5章　定积分在几何上的应用 99

本章学习目标 99

5.1 定积分的微元法 99

5.2　用定积分求平面图形的面积 100

5.3　用定积分求体积 103

5.3.1 平行截面面积已知的立体体积 103

5.3.2　旋转体的体积 104

复习题5 106

本章小结 106

自测题5 107

第6章　常微分方程 108

本章学习目标 108

6.1 常微分方程的基本概念 108

6.2　一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程 110

6.2.1 可分离变量的微分方程 110

习题6.1 110

6.2.2　齐次型微分方程 112

6.2.3 一阶线性微分方程 113

6.2.4　可降阶的高阶微分方程 114

习题6.2 116

6.3　二阶常系数线性微分方程 117

6.3.1 二阶线性微分方程解的结构 117

6.3.2　二阶常系数齐次线性微分方程的解法 119

6.4　微分方程的应用 121

6.4.1　一阶微分方程的应用 121

习题6.3 121

6.4.2　二阶微分方程的应用 123

习题6.4 125

本章小结 125

复习题6 126

测试题6 126

第7章　空间解析几何、多元函数微积分简介 127

本章学习目标 127

7.1　空间解析几何简介 127

7.2.1 多元函数的概念 129

7.2　多元函数的概念、极限与连续 129

7.2.2　二元函数的极限与连续 131

习题7.2 132

7.3 偏导数与全微分 133

7.3.1 偏导数 133

7.3.2　高阶偏导数 135

7.3.3　全微分 136

习题7.3 138

7.4.1 多元复合函数的微分法 139

7.4　多元复合函数与隐函数的微分法 139

7.4.2　隐函数微分法 141

习题7.4 143

7.5　二元函数的极值 143

7.5.1 二元函数的极值 143

7.5.2 二元函数的最大值与最小值 144

7.5.3　条件极值 145

7.6 二重积分 147

7.6.1　二重积分的概念 147

习题7.5 147

7.6.2　二重积分的几何意义 150

7.6.3　二重积分的性质 150

7.6.4　二重积分的计算 151

习题7.6 155

7.7 数学实验 157

7.7.1　利用Mathematica做二元函数图形 157

7.7.2　三维参数图形 158

7.7.3　Mathematica求偏导数 161

本章小结 162

7.7.4　计算二元积分 162

复习题7 163

自测题7 164

第8章　行列式与矩阵 166

本章学习目标 166

8.1 行列式 166

8.1.1　行列式的概念 166

8.1.2　行列式的性质与计算 169

8.1.3 克莱姆法则 174

习题8.1 176

8.2　矩阵及其运算 177

8.2.1　矩阵的概念 177

8.2.2　矩阵的运算 178

习题8.2 181

8.3　矩阵的初等变换与矩阵的秩 183

8.3.1　矩阵的初等变换 183

8.3.2　矩阵的秩 184

习题8.3 185

8.4　矩阵的逆 186

8.4.1 可逆阵及其判别 186

8.4.2　用初等行变换法求逆矩阵 188

习题8.4 190

8.5　用Mathematica进行行列式与矩阵的运算 190

本章小结 194

自测题8 195

9.1.1　线性方程组的消元法 200

9.1　线性方程组的消元解法 200

第9章　线性方程组 200

9.1.2　线性方程组解的判定 203

习题9.1 205

9.2　线性方程组解的结构 206

9.2.1　n维向量、向量组的线性相关性与秩 206

9.2.2　齐次线性方程组解的结构 209

9.2.3 非齐次线性方程组解的结构 211

习题9.2 213

9.3　用Mathematica求解线性方程组 214

本章小结 218

自测题9 219

第10章　概率论基础 222

10.1　随机事件与概率 222

10.1.1　随机实验 222

10.1.2　事件间的关系及运算 223

10.1.3　概率 224

10.2.1 古典概型 225

10.2　古典概型 225

10.2.2　概率的性质 226

10.2.3　概率的加法公式 226

习题10.2 226

10.3　条件概率、乘法公式与事件的独立性 227

10.3.1 条件概率 227

10.3.2　乘法公式 228

10.3.3　事件的独立性 228

10.3.4　全概公式与逆概公式 229

本章小节 230

习题10.3 230

自测题10 231

第11章　随机变量的分布与数字特征 233

11.1　随机变量的分布 233

11.1.1 随机变量 233

11.1.2　离散型随机变量及其概率分布 233

11.1.3　连续型随机变量及其概率分布 235

11.1.4　分布函数 238

11.1.5　随机变量函数的分布 240

习题11.1 241

11.2　随机变量的数字特征 242

11.2.1　数学期望 242

11.2.2　随机变量函数的数学期望 244

11.2.3 方差 245

习题11.2 247

11.3 数学实验 247

本章小结 248

自测题11 250

第12章　数理逻辑 252

本章学习目标 252

12.1 命题及其符号化 252

12.1.1 命题概念 252

12.1.2　命题联结词 253

12.1.3　命题的符号化 255

习题12.1 255

12.2.2　真值表 256

12.2.1　命题公式 256

12.2　命题公式与公式等值 256

12.2.3 等价公式 258

习题12.2 260

12.3　命题逻辑推理理论 261

12.3.1 蕴涵及基本蕴涵式 261

12.3.2　命题逻辑推理理论 261

12.3.3　推理常用方法 262

习题12.3 264

12.4.1 个体词、谓词和量词 265

12.4　谓词逻辑及其应用 265

12.4.2　谓词逻辑公式与解释 267

12.4.3　谓词逻辑公式的等价与蕴涵 269

12.4.4　谓词演算的推理理论 273

习题12.4 276

本章小结 277

自测题12 277

13.1 图的基本概念 279

13.1.1 图的定义 279

本章学习目标 279

第13章　图论初步 279

13.1.2　顶点的度数 280

13.1.3 多重图、简单图与完全图 281

13.1.4　子图 283

习题13.1 283

13.2　图的矩阵表示 283

13.2.1 图的邻接矩阵表示 284

13.2.2　图的关联矩阵表示 285

13.2.3 图的可达矩阵表示 286

习题13.2 288

13.3　路与回路 289

13.3.1 通路与回路 289

13.3.2　图的连通性 290

13.3.3 欧拉图与哈密顿图 292

13.3.4　赋权图与最短通路 297

习题13.3 300

13.4　树及其应用 301

13.4.1　无向树及其性质 301

13.4.2　生成树与最小生成树 303

13.4.3　有向树 304

习题13.4 308

本章小结 309

自测题13 309

附录A　积分表 310

附录B　泊松分布表 317

附表C　标准正态分布表 319

习题答案 321

参考文献 345