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第1章 预备知识与误差理论 1

1.1 线性代数的一些基础知识 1

1.1.1 几种常见矩阵及其性质 1

1.1.2 矩阵的特征值问题与对角化 2

1.1.3 线性空间与内积空间 4

1.1.4 向量范数 6

1.1.5 矩阵范数与矩阵的算子范数 8

1.2 误差 11

1.2.1 误差的来源与分类 11

1.2.2 误差与有效数字 12

1.2.3 数值运算中的误差估计 14

1.2.4 病态问题与算法稳定性分析 15

1.2.5 避免误差危害与数值计算中算法设计 17

习题1 18

第2章 解线性方程组的直接法 20

2.1 高斯消去法 21

2.1.1 基本高斯消去法 21

2.1.2 列主元高斯消去法 24

2.2 矩阵三角分解 26

2.2.1 LU分解 26

2.2.2 三对角方程组的追赶法 31

2.2.3 对称矩阵的三角分解 33

2.2.4 平方根法 34

2.3 矩阵条件数与病态方程组 36

2.3.1 病态现象与条件数 36

2.3.2 线性方程组的误差分析 38

2.3.3 病态线性方程组 40

2.4 豪斯霍尔德变换与QR分解 40

习题2 46

第3章 解线性方程组的迭代法 48

3.1 经典迭代法的基本概念 48

3.1.1 雅可比迭代法 49

3.1.2 高斯赛德尔迭代法 50

3.1.3 逐次超松弛迭代法 52

3.2 迭代法的收敛性 54

3.3 共轭梯度法 57

3.3.1 最速下降法 57

3.3.2 共轭梯度法 58

习题3 59

第4章 非线性方程与方程组的迭代解法 61

4.1 根的搜索 61

4.2 压缩映像原理与不动点迭代法 63

4.2.1 不动点迭代法的基本思想 63

4.2.2 压缩映像原理 65

4.2.3 不动点迭代法的收敛性 66

4.3 牛顿迭代法及其变形 68

4.3.1 牛顿迭代法及其收敛性 68

4.3.2 牛顿迭代法的修正 70

4.3.3 重根的迭代法 73

4.4 迭代收敛的加速方法 74

4.4.1 埃特金加速收敛方法 74

4.4.2 斯特芬森迭代法 74

4.5 求解非线性方程组的迭代法 76

4.5.1 多变量的不动点迭代法 76

4.5.2 多变量的牛顿迭代法 78

习题4 79

第5章 矩阵特征值和特征向量的迭代算法 81

5.1 幂迭代法 82

5.1.1 幂迭代法原理 82

5.1.2 加速收敛的方法 85

5.1.3 反幂法 86

5.2 QR迭代法 88

5.2.1 QR迭代法的原理 88

5.2.2 黑森伯格矩阵 90

习题5 95

第6章 插值法 96

6.1 插值问题的提出 96

6.2 多项式插值 97

6.3 拉格朗日插值方法 97

6.3.1 拉格朗日插值 97

6.3.2 插值余项 99

6.4 牛顿插值多项式 102

6.4.1 差商形式的牛顿插值多项式 102

6.4.2 差商的基本性质 104

6.4.3 差分形式的牛顿插值多项式 105

6.5 埃尔米特插值多项式 108

6.5.1 构造基函数方法 108

6.5.2 待定系数法 110

6.5.3 重节点差商法 111

6.6 分段低次插值 111

6.6.1 高次插值多项式的缺陷 111

6.6.2 分段线性插值 113

6.6.3 分段三次埃尔米特插值 114

6.7 三次样条插值 115

6.7.1 三次样条插值问题的基本提法 115

6.7.2 三次样条插值公式 116

6.7.3 误差阶与收敛性 118

6.8 B-样条插值 119

6.8.1 B-样条函数 119

6.8.2 m次样条函数空间 120

6.8.3 B-样条插值 122

习题6 122

第7章 函数逼近与曲线拟合 126

7.1 交多项式 127

7.1.1 正交函数族 127

7.1.2 正交多项式的性质 128

7.1.3 勒让德多项式 130

7.1.4 切比雪夫多项式 130

7.1.5 切比雪夫多项式零点插值 132

7.2 最佳平方逼近 134

7.2.1 最佳平方逼近及其误差分析 134

7.2.2 用正交函数族作最佳平方逼近 137

7.3 曲线拟合的最小二乘法 140

7.3.1 最小二乘拟合问题 140

7.3.2 非线性最小二乘拟合的线性化 142

7.3.3 用正交多项式作最小二乘拟合 145

习题7 146

第8章 数值积分与数值微分 148

8.1 数值积分的基本概念 149

8.1.1 插值型求积公式 150

8.1.2 求积公式的代数精度 150

8.2 牛顿-科特斯求积公式 151

8.2.1 牛顿-科特斯公式 151

8.2.2 几种常用的牛顿-科特斯求积公式 153

8.3 复化求积公式 155

8.3.1 复化梯形求积公式 155

8.3.2 复化辛普森求积公式 156

8.3.3 复化科特斯求积公式 157

8.4 龙贝格积分方法 158

8.4.1 后验误差估计 158

8.4.2 变步长梯形公式 159

8.4.3 理查森外推法 159

8.4.4 龙贝格算法 161

8.5 高斯求积公式 162

8.5.1 高斯型求积公式的建立 162

8.5.2 高斯求积公式的余项 164

8.5.3 高斯-勒让德求积公式 165

8.5.4 高斯-切比雪夫求积公式 167

8.6 数值微分 167

8.6.1 差商公式及误差分析 167

8.6.2 插值型求导公式 168

8.6.3 三次样条求导 170

习题8 171

第9章 常微分方程的初值问题 173

9.1 引言 173

9.2 常微分方程初值问题的一般方法 174

9.2.1 单步方法和多步方法 176

9.2.2 显式方法和隐式方法 177

9.2.3 局部截断误差和整体截断误差 177

9.2.4 线性多步法的相容性与收敛性 178

9.2.5 线性多步法的稳定性与绝对稳定域 178

9.3 常微分方程初值问题的高阶单步法 182

9.3.1 泰勒级数法 183

9.3.2 龙格-库塔方法 184

9.4 高阶单步方法的性态分析及改进 187

9.5 线性多步法——亚当斯方法和吉尔方法 190

9.5.1 亚当斯-巴什福思方法 191

9.5.2 亚当斯-莫尔顿方法 192

9.5.3 吉尔方法 192

9.6 一般线性多步方法的构造 193

9.7 一阶常微分方程组 196

9.8 刚性问题 199

9.8.1 隐式龙格-库塔方法 200

9.8.2 吉尔方法 202

习题9 203

第10章 求解微分方程的有限差分法 205

10.1 解两点边值问题的差分方法 205

10.2 在矩形区域上求解椭圆边值问题的差分方法 209

10.2.1 第一类边值条件 212

10.2.2 第二、第三类边值条件 213

10.3 在三角形网格上求解椭圆型方程的有限差分法 214

10.4 椭圆差分方程的性态研究 215

10.5 扩散方程的有限差分法 220

10.5.1 扩散方程的离散 220

10.5.2 古典显格式 223

10.5.3 古典隐格式 223

10.5.4 克兰克-尼科尔森格式 224

10.5.5 最高截断误差阶的两层加权平均格式 224

10.5.6 理查森格式 225

10.6 对流方程的差分格式 228

10.7 波动方程的差分离散 231

习题10 233

第11章 求解微分方程的有限元法简介 238

11.1 变分问题 238

11.1.1 两点边值问题的变分形式 238

11.1.2 泛函和变分 241

11.1.3 两点边值问题的变分形式 243

11.1.4 椭圆型方程的变分形式 245

11.2 泛函的极值问题 250

11.2.1 泛函的极值问题的存在性 250

11.2.2 与椭圆型方程相应的泛函极值问题 252

11.2.3 极值问题与变分问题之间的联系 254

11.3 变分和泛函极值问题的近似求解 256

11.3.1 变分和泛函极值问题的进一步讨论 256

11.3.2 里茨法 260

11.3.3 伽辽金法 263

11.4 解椭圆型问题的有限元方法 265

11.4.1 基于变分问题的有限元方法 265

11.4.2 基于泛函极值问题的有限元方法 269

习题11 274

习题答案或提示 276

参考文献 283